Formules avec arc tangente d'un quotient

C'est une très bonne idée, mais il faut préciser les valeurs de $a$ et $b$ pour lesquelles cette égalité a un sens, et même quand elle a un sens il faut préciser les valeurs de $a$ et $b$ pour lesquelles elle est vraie.
Par exemple pour $b=0$ ou $b=-a$ elle n'a pas de sens.
Pour $a=2$ et $b=-1$ elle a un sens mais elle n’est pas vraie.
Bref, comme dirait l'autre, il faut la quantifier convenablement.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

L'égalité de gebrane se démontre rapidement avec la formule $\tan(x+y)=\dfrac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$ en calculant $\tan(\arctan(1/a)+\arctan(1/(4a^3+3a))$ (puis en simplifiant par $a^2+1$) et $\tan(2\arctan(1/(2a))$.

Il faut montrer qu'on peut se limiter à $a>0$, traiter à part le cas $a=\dfrac12$ et vérifier que $\arctan(1/a)+\arctan(1/(4a^3+3a)$ et $2\arctan(1/(2a)$ sont dans le même bon intervalle.

bonjour gebrane

tu connais l'identité $Arctan(a) - Arctan(b) = Arctan\frac{a - b}{1+ab}$

tu vas l'appliquer à chaque membre de ton équation qui peut s'écrire :

$Arctan\frac{1}{a} - Arctan\frac{1}{2a} = Arctan\frac{1}{2a} - Arctan\frac{1}{4a^3 + 3a}$

soit au premier membre $Arctan\frac{a}{2a^2+1}$ et au second membre :

$$Arctan\frac{\frac{1}{2a} - \frac{1}{4a^3 + 3a}}{1+\frac{1}{2a(4a^3 + 3a)}}$$

soit encore au second membre : $$Arctan\frac{4a^3+a}{8a^4 + 6a^2 + 1}$$

il est possible de factoriser le dénominateur en effet : $8a^4 + 6a^2 + 1 = (2a^2 + 1)(4a^2 + 1)$

et donc finalement le second membre est identique au premier soit $Arctan\frac{a}{2a^2 + 1}$

cordialement