En fait, en passant au log, et en utilisant une double inégalité bien connue sur ln, j’ai réussi à démontrer par le théorème des Gendarmes que la suite Un converge vers exp(1/2).
Mais c’est quand j’ai voulu démontrer que la suite est décroissante, que tout coince!
@Fin de partie:
J’ai utilisé la double inégalité:
x-(1/2)x^2 <= ln(1+x) <= x
pour tout x positif.
Ce qui m’a permis d’encadrer ln(Un+1)-ln(Un).
Mais je tombe sur un minorant négatif et un majorant positif...
Donc ça ne me donne pas le signe...
Sauf erreur la différence (premier moins second terme) entre ces deux termes vaut: $\displaystyle \frac{3 {{n}^{3}}+7 {{n}^{2}}+4 n+1}{n\, {{\left( n+1\right) }^{3}}}$
@Jean lismonde.
1) ma suite est décroissante
2) elle converge vers exp(1/2)
En fait tu utilises un équivalent (qui est faux) de la suite pour déduire sa monotonie. Tu n’as pas le droit!
Deux suites équivalentes ne varient pas forcément dans le même sens!
Bonjour,
Si on trouve des nombres $a_{n,1},\dots,a_{n,n}$ tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{n,k}=1$ et $\forall k\in[\![1,n]\!],$ $$\Big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \Big) \Big(1+\frac1{n+1} \Big)^{a_{n,k}} \leqslant \Big(1+\frac{k}{n^2} \Big)$$ alors on a montré que $u_{n+1}\leqslant u_n$. Or, pour que la première inégalité soit vraie, il faut que $$a_{n,k} \leqslant \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} .$$ Ainsi, on peut trouver ces nombres $a_{n,k}$ à condition que $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1.$$ C'est ce qu'il faut vérifier en utilisant les majoration et minoration de $\ln$ que tu as déjà évoquées.
Ça n'est pas très subtile comme méthode, mais ça fonctionne (édit).
Ta dernière égalité semble vraie pour tout n, mais je n’arrive pas à la démontrer avec les inégalités sur le log que j’ai utilisées plus haut...
Aurais-tu un procédé pour prouver cette égalité?
En vérifiant avec un ordinateur, j'ai bien vu que c'est la minoration $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} -\frac{k}{(n+1)^2}}{\frac1{n+1}} $$ qui est trop mauvaise. Il faut trouver autre chose. Mais $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1$$ a bien l'air d'être vraie.
Bon, en fait, je me rends compte que $\quad\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1\quad$ est totalement équivalent à $\ln(u_n)\geqslant \ln(u_{n+1})$. Mon raisonnement n'était qu'un détour inutile. :-(
Effectivement, j’ai testé ton inégalité sur Python. Elle semble vraie pour tout n.
Malheureusement, je n’ai pas encore pu la démonter avec les inégalités classiques sur ln(1+x).
Il faudrait utiliser autre chose pour démontrer que ma suite Un est décroissante...
Ah la la...ça fait 4 jours que je bûche dessus!
Encore merci à toi!
Une idée :
On montre par calcul direct que $\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^n (1+k/n^2)={1\over n^{2n}} {\Gamma(n^2+n+1)\over \Gamma(n^2+1)}$, puis on calcule $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ pour montrer, par récurrence, que c’est $\leq 1$ (qui est une inégalité fine assez pénible à démontrer).
En utilisant l'inégalité plus précise $\forall x\in{]0,1[},\, x-\frac{x^2}2 \leqslant \ln(1+x) \leqslant x-\frac{x^2}2 +\frac{x^3}3$, on y arrive ! (:D On trouve que $\ln(u_n)-\ln(u_{n+1}) \geqslant \frac{1+o(1)}{4n^2}$, donc $(u_n)$ est strictement décroissante à partir d'un certain rang (et Python confirme cet équivalent). En travaillant plus à partir de l'avant-avant-dernière ligne de la photo, on peut expliciter ce "à partir d'un certain rang". Ça s'annonce pénible, mais c'est théoriquement faisable (mais ce sera sans moi ! :-P). D'après Python, l'expression de l'avant-avant-dernière ligne est positive à partir de $n=3$, donc il reste juste à vérifier la décroissante sur les quelques premiers termes de la suite.[size=x-small]
PS:
Gebrane: te rends tu compte qu'avec ce moteur de recherche on contribue au <<crash>> des mathématiques? Plus besoin de faire des calculs, quelqu'un a déjà donné une solution sur MathExchange, il suffit de la localiser et c'est fini. X:-(
FDP [size=x-large]tu as grandement participé à ce crash en dévoilant le moteur de recherche magique[/size] :-D
De ma part, pas de soucis, je réfléchis à la question meme si je fais des erreurs en proposant mes réponses, c'est comme ça que je progresse .
FDP, C'est encore plus grave, les mathématiques et le phénomène de sous-traitance
J'avais cru avant que faire une thèse était si difficile car ça demande de l'originalité , mais autour de moi ,
j'ai constaté à la moindre difficulté, un bon nombre demandent aux autres de les résoudre pour eux ou bien de poser un lemme sensé être résolu par le thésard dans un forum ( surtout avec les forums dédiés par exemple ici, MSE, MO et d'autres )
@Calli.
Joli travail!
Franchement, je te remercie pour ton apport!
Là tu as réussi à montrer que ma suite est décroissante à partir d’un certain rang.
Je vais essayer de travailler sur l’avant-avant dernière expression pour voir à partir de quel rang elle est positive.
Encore merci!
gebrane écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2200376,2201112#msg-2201112 [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Salut Gebrane.
Tu as raison. Mon titre est inapproprié.
J’ai essayé de changer le titre de ma discussion, mais apparemment on ne peut pas le faire...
Je n’ai vu l’option nulle part...
Saurais-tu comment on fait ?
Réponses
Chaque facteur est croissant.
Le produit de deux facteurs croissants est-il croissant ?
Calcule le rapport $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ et utilisé majoration et minoration. Ça devrait marcher.
$$ C'est ça ?
Ça ne marche pas ...
Dans le produit de Un il y a n termes
Dans celui de Un+1 il y a n+1 termes...
Mais c’est quand j’ai voulu démontrer que la suite est décroissante, que tout coince!
Un petit coup de logarithme peut-être?
PS:
J'imagine qu'il faut seulement savoir minorer et majorer $\ln(1+u)$ pour $0<u<1$.
Quand on passe au logarithme l'expression $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ on se retrouve avec une somme de termes de la forme $\pm\ln(1+u)$ avec $0<u<1$.
J’ai utilisé la double inégalité:
x-(1/2)x^2 <= ln(1+x) <= x
pour tout x positif.
Ce qui m’a permis d’encadrer ln(Un+1)-ln(Un).
Mais je tombe sur un minorant négatif et un majorant positif...
Donc ça ne me donne pas le signe...
Le terme produit de gauche est plus grand que celui de droite.
Donc cela ne me donne pas Un+1/Un <1
tu prends le logarithme népérien de $u_n$ (qui est toujours positif)
et tu opères un développement asymptotique limité à 3 termes
$ln(u_n) = \Sigma_1^nln(1+\frac{k}{n^2}) = \Sigma_1^n\frac{k}{n^2} - (1/2)\Sigma_1^n\frac{k^2}{n^4} + (1/3)\Sigma_1^n\frac{k^3}{n^6} + .......$
soit encore :
$ln(u_n) = \frac{n+1}{n} - (1/2)\frac{(n+1)(2n+1)}{n^3} + (1/3)\frac{(n+1)^2}{n^4} +....$
tu obtiens :
$ln(u_n) = 1 - \frac{7}{6n^2} + \frac{1}{6n^3} +......$ qui est croissante avec n
ta suite de terme général $u_n$ est croissante et converge vers le nombre e
on pouvait voir la convergence de la suite $u_n$ en majorant le produit des n facteurs
par n fois le terme le plus grand soit le dernier (1 + n/n²)
$u_n < (1+1/n)^n$ qui est croissant et convergent vers le nombre e
cordialement
1) ma suite est décroissante
2) elle converge vers exp(1/2)
En fait tu utilises un équivalent (qui est faux) de la suite pour déduire sa monotonie. Tu n’as pas le droit!
Deux suites équivalentes ne varient pas forcément dans le même sens!
Cordialement!
Si on trouve des nombres $a_{n,1},\dots,a_{n,n}$ tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{n,k}=1$ et $\forall k\in[\![1,n]\!],$ $$\Big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \Big) \Big(1+\frac1{n+1} \Big)^{a_{n,k}} \leqslant \Big(1+\frac{k}{n^2} \Big)$$ alors on a montré que $u_{n+1}\leqslant u_n$. Or, pour que la première inégalité soit vraie, il faut que $$a_{n,k} \leqslant \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} .$$ Ainsi, on peut trouver ces nombres $a_{n,k}$ à condition que $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1.$$ C'est ce qu'il faut vérifier en utilisant les majoration et minoration de $\ln$ que tu as déjà évoquées.
Ça n'est pas très subtile comme méthode, mais ça fonctionne (édit).
Édit je me suis trompé sur la question.
Ta dernière égalité semble vraie pour tout n, mais je n’arrive pas à la démontrer avec les inégalités sur le log que j’ai utilisées plus haut...
Aurais-tu un procédé pour prouver cette égalité?
En tout cas, je te remercie pour ton aide...
\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} &\geqslant& \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} -\frac{k}{(n+1)^2}}{\frac1{n+1}} \\
&=& (n+1) \sum_{k=1}^n \left( \frac{(2n+1)k}{n^2(n+1)^2} - \frac{k^2}{2n^4} \right)\\
&=& n \frac{2n}{n^4} \frac{n^2}2 (1+o(1)) - n \frac{1}{2n^4} \frac{n^3}3 (1+o(1) ) \\
&\to& 1-\frac16 <1
\end{eqnarray*} $$
Effectivement, j’ai testé ton inégalité sur Python. Elle semble vraie pour tout n.
Malheureusement, je n’ai pas encore pu la démonter avec les inégalités classiques sur ln(1+x).
Il faudrait utiliser autre chose pour démontrer que ma suite Un est décroissante...
Ah la la...ça fait 4 jours que je bûche dessus!
Encore merci à toi!
Une idée :
On montre par calcul direct que $\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^n (1+k/n^2)={1\over n^{2n}} {\Gamma(n^2+n+1)\over \Gamma(n^2+1)}$, puis on calcule $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ pour montrer, par récurrence, que c’est $\leq 1$ (qui est une inégalité fine assez pénible à démontrer).
https://math.stackexchange.com/questions/3820670/the-sequence-a-n-prod-k-1n-left1-frackn2-right-is-decreasing?noredirect=1
PS:
Gebrane: te rends tu compte qu'avec ce moteur de recherche on contribue au <<crash>> des mathématiques? Plus besoin de faire des calculs, quelqu'un a déjà donné une solution sur MathExchange, il suffit de la localiser et c'est fini. X:-(
De ma part, pas de soucis, je réfléchis à la question meme si je fais des erreurs en proposant mes réponses, c'est comme ça que je progresse .
J'avais cru avant que faire une thèse était si difficile car ça demande de l'originalité , mais autour de moi ,
j'ai constaté à la moindre difficulté, un bon nombre demandent aux autres de les résoudre pour eux ou bien de poser un lemme sensé être résolu par le thésard dans un forum ( surtout avec les forums dédiés par exemple ici, MSE, MO et d'autres )
Joli travail!
Franchement, je te remercie pour ton apport!
Là tu as réussi à montrer que ma suite est décroissante à partir d’un certain rang.
Je vais essayer de travailler sur l’avant-avant dernière expression pour voir à partir de quel rang elle est positive.
Encore merci!
@Gebrane
Merci pour le lien!
Effectivement, j’y ai vu la solution de mon problème( sans utilisation de DL)...pas mal...
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Salut Gebrane.
Tu as raison. Mon titre est inapproprié.
J’ai essayé de changer le titre de ma discussion, mais apparemment on ne peut pas le faire...
Je n’ai vu l’option nulle part...
Saurais-tu comment on fait ?