Décroissance d’un produit...
Réponses
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Bonjour,
Chaque facteur est croissant.
Le produit de deux facteurs croissants est-il croissant ? -
Chaque facteur est DÉCROISSANT, mais le nombre de facteurs n’est pas constant. Il tend vers l’infini...
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Bonjour,
Calcule le rapport $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ et utilisé majoration et minoration. Ça devrait marcher. -
$$\forall n\in\N^\star, \qquad u_n=\prod\limits_{k=1}^n\big(1+\tfrac{k}{n^2}\big).
$$ C'est ça ? -
J’ai essayé Un+1/Un ...
Ça ne marche pas ...
Dans le produit de Un il y a n termes
Dans celui de Un+1 il y a n+1 termes... -
En fait, en passant au log, et en utilisant une double inégalité bien connue sur ln, j’ai réussi à démontrer par le théorème des Gendarmes que la suite Un converge vers exp(1/2).
Mais c’est quand j’ai voulu démontrer que la suite est décroissante, que tout coince! -
Les $n$ premiers facteurs de $U_{n+1}$ sont plus petits que les $n$ facteurs de $U_n$ mais le facteur restant de $U_{n+1}$ est plus grand que $1$.
Un petit coup de logarithme peut-être?
PS:
J'imagine qu'il faut seulement savoir minorer et majorer $\ln(1+u)$ pour $0<u<1$. -
Acide2021:
Quand on passe au logarithme l'expression $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$ on se retrouve avec une somme de termes de la forme $\pm\ln(1+u)$ avec $0<u<1$. -
On peut comparer pour $n\ge 2$: $\left( 1+\dfrac{n}{(n+1)^2}\right) \left( 1+\dfrac{n+1}{(n+1)^2}\right)$ et $1+\dfrac{n}{n^2}$.
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Sauf erreur la différence (premier moins second terme) entre ces deux termes vaut: $\displaystyle \frac{3 {{n}^{3}}+7 {{n}^{2}}+4 n+1}{n\, {{\left( n+1\right) }^{3}}}$
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bonjour
tu prends le logarithme népérien de $u_n$ (qui est toujours positif)
et tu opères un développement asymptotique limité à 3 termes
$ln(u_n) = \Sigma_1^nln(1+\frac{k}{n^2}) = \Sigma_1^n\frac{k}{n^2} - (1/2)\Sigma_1^n\frac{k^2}{n^4} + (1/3)\Sigma_1^n\frac{k^3}{n^6} + .......$
soit encore :
$ln(u_n) = \frac{n+1}{n} - (1/2)\frac{(n+1)(2n+1)}{n^3} + (1/3)\frac{(n+1)^2}{n^4} +....$
tu obtiens :
$ln(u_n) = 1 - \frac{7}{6n^2} + \frac{1}{6n^3} +......$ qui est croissante avec n
ta suite de terme général $u_n$ est croissante et converge vers le nombre e
on pouvait voir la convergence de la suite $u_n$ en majorant le produit des n facteurs
par n fois le terme le plus grand soit le dernier (1 + n/n²)
$u_n < (1+1/n)^n$ qui est croissant et convergent vers le nombre e
cordialement -
Bonjour,
Si on trouve des nombres $a_{n,1},\dots,a_{n,n}$ tels que $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{n,k}=1$ et $\forall k\in[\![1,n]\!],$ $$\Big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \Big) \Big(1+\frac1{n+1} \Big)^{a_{n,k}} \leqslant \Big(1+\frac{k}{n^2} \Big)$$ alors on a montré que $u_{n+1}\leqslant u_n$. Or, pour que la première inégalité soit vraie, il faut que $$a_{n,k} \leqslant \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} .$$ Ainsi, on peut trouver ces nombres $a_{n,k}$ à condition que $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1.$$ C'est ce qu'il faut vérifier en utilisant les majoration et minoration de $\ln$ que tu as déjà évoquées.
Ça n'est pas très subtile comme méthode, mais ça fonctionne (édit). -
C'est plus simple avec $x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x)\le x,\qquad0\le x \le1,$
Édit je me suis trompé sur la question.Le 😄 Farceur -
En refaisant mes calculs, on dirait que je m'étais trompé et que mon truc ne marche pas. :-X $$\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} &\geqslant& \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} -\frac{k}{(n+1)^2}}{\frac1{n+1}} \\
&=& (n+1) \sum_{k=1}^n \left( \frac{(2n+1)k}{n^2(n+1)^2} - \frac{k^2}{2n^4} \right)\\
&=& n \frac{2n}{n^4} \frac{n^2}2 (1+o(1)) - n \frac{1}{2n^4} \frac{n^3}3 (1+o(1) ) \\
&\to& 1-\frac16 <1
\end{eqnarray*} $$ -
En vérifiant avec un ordinateur, j'ai bien vu que c'est la minoration $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} -\frac{k}{(n+1)^2}}{\frac1{n+1}} $$ qui est trop mauvaise. Il faut trouver autre chose. Mais $$\sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1$$ a bien l'air d'être vraie.
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Bon, en fait, je me rends compte que $\quad\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{\ln\big(1+\frac{k}{n^2} \big) - \ln \big(1+\frac{k}{(n+1)^2} \big)}{\ln \big(1+\frac1{n+1} \big)} \geqslant 1\quad$ est totalement équivalent à $\ln(u_n)\geqslant \ln(u_{n+1})$. Mon raisonnement n'était qu'un détour inutile. :-(
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@Calli
Effectivement, j’ai testé ton inégalité sur Python. Elle semble vraie pour tout n.
Malheureusement, je n’ai pas encore pu la démonter avec les inégalités classiques sur ln(1+x).
Il faudrait utiliser autre chose pour démontrer que ma suite Un est décroissante...
Ah la la...ça fait 4 jours que je bûche dessus!
Encore merci à toi! -
Bonjour,
Une idée :
On montre par calcul direct que $\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^n (1+k/n^2)={1\over n^{2n}} {\Gamma(n^2+n+1)\over \Gamma(n^2+1)}$, puis on calcule $\displaystyle {u_{n+1}\over u_n}$ pour montrer, par récurrence, que c’est $\leq 1$ (qui est une inégalité fine assez pénible à démontrer). -
Acide, veux-tu changer le titre de ta question en décroissance d'un produit pour ne pas induire tes nouveaux lecteurs en erreurLe 😄 Farceur
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En utilisant l'inégalité plus précise $\forall x\in{]0,1[},\, x-\frac{x^2}2 \leqslant \ln(1+x) \leqslant x-\frac{x^2}2 +\frac{x^3}3$, on y arrive ! (:D On trouve que $\ln(u_n)-\ln(u_{n+1}) \geqslant \frac{1+o(1)}{4n^2}$, donc $(u_n)$ est strictement décroissante à partir d'un certain rang (et Python confirme cet équivalent). En travaillant plus à partir de l'avant-avant-dernière ligne de la photo, on peut expliciter ce "à partir d'un certain rang". Ça s'annonce pénible, mais c'est théoriquement faisable (mais ce sera sans moi ! :-P). D'après Python, l'expression de l'avant-avant-dernière ligne est positive à partir de $n=3$, donc il reste juste à vérifier la décroissante sur les quelques premiers termes de la suite.[size=x-small]
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une réponse dans le fil de l’intégrale de mi-marsLe 😄 Farceur
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Sur les conseils de Gebrane on a cette référence:
https://math.stackexchange.com/questions/3820670/the-sequence-a-n-prod-k-1n-left1-frackn2-right-is-decreasing?noredirect=1
PS:
Gebrane: te rends tu compte qu'avec ce moteur de recherche on contribue au <<crash>> des mathématiques? Plus besoin de faire des calculs, quelqu'un a déjà donné une solution sur MathExchange, il suffit de la localiser et c'est fini. X:-( -
Il y a aussi cette référence.
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Pareil, j'ai fait un DL et je n'ai obtenu que la décroissance APCR. (:P)
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FDP [size=x-large]tu as grandement participé à ce crash en dévoilant le moteur de recherche magique[/size] :-D
De ma part, pas de soucis, je réfléchis à la question meme si je fais des erreurs en proposant mes réponses, c'est comme ça que je progresse .Le 😄 Farceur -
Gebrane: chut, pas si fort, on va nous entendre et je vais avoir tout le lobby du déclinisme sur le dos. X:-(
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FDP, C'est encore plus grave, les mathématiques et le phénomène de sous-traitance
J'avais cru avant que faire une thèse était si difficile car ça demande de l'originalité , mais autour de moi ,
j'ai constaté à la moindre difficulté, un bon nombre demandent aux autres de les résoudre pour eux ou bien de poser un lemme sensé être résolu par le thésard dans un forum ( surtout avec les forums dédiés par exemple ici, MSE, MO et d'autres )Le 😄 Farceur -
gebrane écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2200376,2201112#msg-2201112
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Salut Gebrane.
Tu as raison. Mon titre est inapproprié.
J’ai essayé de changer le titre de ma discussion, mais apparemment on ne peut pas le faire...
Je n’ai vu l’option nulle part...
Saurais-tu comment on fait ? -
Tu peux le changer en revenant à ton premier messageLe 😄 Farceur
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gebrane. Merci !!!
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Bonjour!
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