Primitives de 1/z
dans Analyse
Bonjour,
Qui peut me dire où est la faille dans le raisonnement évidemment faux suivant ?
La fonction $f_0$, somme de la série $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}(z-1)^n$ sur le disque $D_0$ ouvert de centre 1 et de rayon 1 est la primitive de $z \mapsto \frac 1z$ qui s'annule en 1.
Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sommes des séries
$\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n{\rm{i}}^n}(z-\rm{i})^n + \rm{i} \frac{\pi}{2}$,
$-\sum_{n \geq 1} \frac 1n (z+1)^n +\rm{i}\pi$ et
$-\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n{\rm{i}}^n}(z+\rm{i})^n + \frac{3\rm{i}\pi}2$,
définies respectivement sur les disques ouverts $D_1$, $D_2$ et $D_3$ de rayon 1 et de centres respectifs $\rm{i}$, $-1$ et $-\rm{i}$, sont aussi des primitives de $z \mapsto \frac 1z$. Elles différent donc d'une constante.
Or $f_0(\frac 12 (1+\rm{i}))= f_1(\frac 12 (1+\rm{i}))$, $f_1(\frac 12 (-1+\rm{i}))= f_2(\frac 12 (-1+\rm{i}))$, et $f_2(-\frac 12 (1+\rm{i}))= f_3(-\frac 12 (1+\rm{i}))$. Ces fonctions définissent donc sur $D_0 \cup D_1 \cup D_2 \cup D_3$ la même primitive de $z \mapsto \frac 1z$ (celle qui s'annule en 1).
C'est manifestement faux puisque $f_3(\frac 12 (1-\rm{i}))$ et $f_0(\frac 12 (1-\rm{i}))$ ont une valeur qui diffère de $2 \rm{i} \pi$.
Merci d'avance.
Cordialement.
PS : pourquoi les barres verticales à la fin des formules encadrées par un dollar ?
Qui peut me dire où est la faille dans le raisonnement évidemment faux suivant ?
La fonction $f_0$, somme de la série $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}(z-1)^n$ sur le disque $D_0$ ouvert de centre 1 et de rayon 1 est la primitive de $z \mapsto \frac 1z$ qui s'annule en 1.
Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sommes des séries
$\sum_{n \geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n{\rm{i}}^n}(z-\rm{i})^n + \rm{i} \frac{\pi}{2}$,
$-\sum_{n \geq 1} \frac 1n (z+1)^n +\rm{i}\pi$ et
$-\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n{\rm{i}}^n}(z+\rm{i})^n + \frac{3\rm{i}\pi}2$,
définies respectivement sur les disques ouverts $D_1$, $D_2$ et $D_3$ de rayon 1 et de centres respectifs $\rm{i}$, $-1$ et $-\rm{i}$, sont aussi des primitives de $z \mapsto \frac 1z$. Elles différent donc d'une constante.
Or $f_0(\frac 12 (1+\rm{i}))= f_1(\frac 12 (1+\rm{i}))$, $f_1(\frac 12 (-1+\rm{i}))= f_2(\frac 12 (-1+\rm{i}))$, et $f_2(-\frac 12 (1+\rm{i}))= f_3(-\frac 12 (1+\rm{i}))$. Ces fonctions définissent donc sur $D_0 \cup D_1 \cup D_2 \cup D_3$ la même primitive de $z \mapsto \frac 1z$ (celle qui s'annule en 1).
C'est manifestement faux puisque $f_3(\frac 12 (1-\rm{i}))$ et $f_0(\frac 12 (1-\rm{i}))$ ont une valeur qui diffère de $2 \rm{i} \pi$.
Merci d'avance.
Cordialement.
PS : pourquoi les barres verticales à la fin des formules encadrées par un dollar ?
Réponses
-
Si tu prends $D_0$ et $D_1$, tu as effectivement que tes fonctions diffèrent d'une constante et que tu peux trouver une primitive sur $D_0 \cup D_1$.
Le problème vient du moment où tu fais rentrer $f_3$ dans ta preuve car elle coïncide avec $f_2$ mais pas avec $f_0$. Tu as donc certes une primitive sur $D_0 \cup D_1 \cup D_2$ et une sur $D_1 \cup D_2 \cup D_3$ mais tu ne peux pas en déduire une primitive sur $D_0 \cup D_1 \cup D_2 \cup D_3$...
En réalité, ce que tu cherches est une détermination holomorphe du logarithme, ie une primitive de $1/z$ ou une réciproque de l'exponentielle.
On peut en définir une dès lors que l'on retire une demi-droite à $\mathbb{C}$.
Par exemple, on peut poser, pour tout $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_-$, $\text{ln}(z) = \text{ln}(r) + i \theta$ où $z = re^{i\theta}$ avec $\theta \in ]-\pi,\pi[$.
On a ainsi la fonction que tu cherches mais on ne peut l'étendre à $\mathbb{C}^*$ car elle serait alors non continue.
Comme on fait un tour, l'argument augmente de $2\pi$ et on ne peut donc pas boucler la boucle.
Le même soucis apparaît justement dans ton problème où tes primitives diffèrent de $2\pi$.
Tu ne pourras malheureusement pas y arriver sur $\mathbb{C}^*$ -
jossrandal2002 a écrit:PS : pourquoi les barres verticales à la fin des formules encadrées par un dollar ?
Pour les barres verticales avec MacOS voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1204455,1209141#msg-1209141
AD -
Pour AD : Merci, ça marche en allant sur Math Settings, puis Math Renderer et en prenant l'option SVG (avec Windows 10 et Edge).
Pour Heuristique.
Merci pour cette réponse, mais je reste sur ma faim car je ne vois pas vraiment l'erreur de raisonnement.
Sur $D_0 \cup D_1 \cup D_2$, j'ai donc la primitive de $z \mapsto \frac 1z$ qui s'annule en 1.
Sur $D_3$, j'ai aussi une primitive de $z \mapsto \frac 1z$. Ces deux primitives diffèrent donc d'une constante (c'est peut-être là que ça coince) et comme elles sont égales au point $-\frac 12 (1+\rm i)$, elles sont égales.
Je sais bien sûr que je n'arriverai pas à définir le logarithme sur $\C-\{0\}$ et le pourquoi du $2 \rm i \pi$ !
Peux-tu mettre le doigt là où ça fait mal ? -
J'insiste, quitte à paraître idiot (ça n'a jamais tué personne !).
J'ai une fonction homomorphe définie sur $D_0 \cup D_1 \cup D_2$ et une autre définie sue $D_3$. Ces deux fonctions sont égales sur $D_2 \cap D_3$. Elles sont donc égales partout. -
La conclusion est fausse. Pour pouvoir prolonger des fonctions $f$ définie sur $D_0\cup D_1\cup D_2$ et $g$ définie sur $D_3$ à la réunion $D_0\cup D_1\cup D_2\cup D_3$, il ne suffit pas de vérifier que $f$ et $g$ coïncident sur $D_2\cap D_3$ : il faut qu'elles coïncident sur $(D_0\cup D_1\cup D_2)\cap D_3$ et ce n'est pas le cas.
Ce que tu cherches à faire ressemble à un prolongement analytique le long d'un chemin. Cela permet de définir une fonction multiforme, c'est-à-dire une fonction définie sur un revêtement de $\C^*$, qu'on peut interpréter en son for intérieur comme une fonction qui à tout complexe non nul associe un ensemble de nombres complexes (et pas un seul). Cf. par exemple http://analysis-situs.math.cnrs.fr/Fonctions-multiformes-et-groupe-fondamental.html. -
Appelons $F$ ta primitive sur $U = D_0 \cup D_1 \cup D_2$ et $G$ ta primitive sur $D_3$.
Ce que tu dis, c'est que $F$ et $G$ étant primitives d'une même fonction, elle diffère d'une constante sur $U \cap D_3$ : ce n'est pas vrai. Pour être précis, elles diffèrent d'une constante sur chacune des composantes connexes de $U \cap D$ (dans le cas de $\mathbb{R}$, on ne s'en rend pas trop compte car on travaille avec des intervalles.)
$U \cap D$ a 2 composantes connexes : $D_2 \cap D_3$ et $D_3 \cap D_0$.
Donc $F$ et $G$ diffèrent d'une constante sur $D_2 \cap D_3$ (cette constante vaut $0$).
et $F$ et $G$ diffèrent d'une constante sur $D_3 \cap D_0$ (cette constante vaut $2i\pi$)
Les constantes n'étant pas égales, tu ne peux pas prolonger.
Un exemple peut-être plus parlant dans $\mathbb{R}$.
Je cherche des primitives de la fonction nulle sur $]0,4[$.
J'appelle $g$ la fonction constante 1 sur l'intervalle $]1,3[$ et $f$ la fonction définie sur $]0,2[ \cup ]2,4[$ qui vaut $1$ sur $]0,2[$ et $0$ sur $]2,4[$.
$g$ est une primitive de la fonction nulle sur $]1,3[$ et $f$ en est une sur $]0,2[ \cup ]2,4[$.
$f$ et $g$ diffèrent d'une constante sur $]1,2[$ et sur $]2,3[$ mais pas sur $]1,3[$ car la constante n'est pas la même. -
Merci Heuristique.
C'est l'explication que je désirais.
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 22
+12 Invités