Prolongement par continuité
Réponses
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Soit $F$ une primitive de $f\ \ldots$
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Ok merci. Soit $F$ une primitive de $f$ qui s'annule en $0$.
On a $\forall x \in \R^{*} \ \varphi(x)=\dfrac{1}{2} \dfrac{F(x)-F(-x)}{x}=\dfrac{1}{2} \dfrac{F(x)-F(0)}{x} - \dfrac{1}{2} \dfrac{F(-x)-F(0)}{x}$
Donc $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=f(0)}$ donc $\varphi$ est continue en $0$.
2) Soit $h>0$.
$\varphi(x+h)-\varphi(h)=\dfrac{1}{2(x+h)} \displaystyle\int_{-(x+h)}^{x+h} f(t) dt - \dfrac{1}{2x} \displaystyle\int_{-x}^{x} f(t) dt $
J'ai essayé le changement de variable à gauche mais ça ne marche pas :-S -
Tu pourras poser l'exo en kholle! Il est pas mal l'exo.
Y a vraiment 0 astuce faut juste suivre la consigne exo parfait pour voir si les taupins ont compris quelque chose au cours sur les intégrales. -
@OS : Tu t'es trompé à la question 1).
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Gai Requin j'ai corrigé c'est mieux ?
Ok llorteLEG mais je bloque toujours même en essayant une autre méthode.
2) $\dfrac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{h}=\dfrac{1}{2h} \left( \dfrac{F(x+h)-F(-x-h)}{x+h} - \dfrac{F(x)-F(-x)}{x} \right)$
Je n'arrive pas à faire l'exercice. Même la formule de l'aide, je ne comprends pas d'où elle sort. -
Pour 2/ IPP $\int_{-x}^{x} tf’(t) dt $
-
Etanche merci j'ai réussi la 2. $\varphi$ est dérivable sur $\R^{*}$ comme produit de fonctions dérivables.
On a $\boxed{\forall x \in \R^{*} \ \varphi'(x)=-\dfrac{1}{2 x^2} \displaystyle\int_{-x}^x f(t) dt+ \dfrac{1}{2x} (f(x)+f(-x))}$
Une IPP donne :
$\displaystyle\int_{-x}^x t f'(t) dt=x(f(x)+f(-x)) -\displaystyle\int_{-x}^x f(t)dt$
Ce qui fournit le résultat demandé.
Pour la 3 je ne comprends pas l'intérêt de l'indication. Je pense qu'il faut utiliser le théorème de prolongement d'une dérivée mais je ne vois pas comment calculer la limite. -
$f'$ est continue donc uniformément continue sur le segment $[-x,x]$ donc il faut l'écrire et on doit y arriver.
Il y a 2 hypothèses à vérifier pour le théorème "limite de la dérivée", tu n'oublieras pas celle qui te semble la moins importante. -
Ok merci. Prenons $I=[-x,x]$. On a bien $t \in I$ et $0 \in I$.
Soit $\varepsilon>0$. Il existe $\eta >0$ tel que $|t-0| \leq \eta \implies |f'(t)-f'(0)| \leq \varepsilon$.
Soit $x$ au voisinage de $0$.
Donc $|\varphi'(x)| \leq \dfrac{1}{x^2} \varepsilon \displaystyle\int_{-x}^x |t| dt \leq \dfrac{\varepsilon x}{x^2} 2x \leq 2 \varepsilon$ -
Trop vague le "$x$ au voisinage de $0$". Tu n'utilises pas ce que tu introduis avant. Or, là c'est super important de savoir quoi dépend ou pas de quoi ($\varepsilon, x, t$,...) et tu balayes ça.
Sinon on peut faire $\frac{\varepsilon}{2}$ au lieu de $2\varepsilon$.
Enfin, comme je l'ai dit, tu n'appliques par rigoureusement le théorème du cours en vérifiant les hypothèses donc pour moi, ta réponse est incomplète donc perte de points. Certes, $\varphi$ est continue en 0, c'est l'objet de la question 1) mais IL FAUT LE DIRE. -
Oui ma rédaction est un peu à revoir.
J'ai été un peu trop vite. -
Il faut ajouter que je prends $|x| \leq \eta$ de sorte que $- \eta \leq -x \leq t \leq x \leq \eta$.
Ainsi on a $\exists \eta >0 \ \forall x \in \R \ \ |x| \leq \eta \implies |\varphi'(x)| \leq 2 \varepsilon$.
Ce qui montre que $\lim_0 \varphi' =0$. -
Bonjour
Vu l'exercice autant faire les 3 questions en une seule fois.
D'après les hyp. on a F(x)=F(0)+x f(0) +x^2/2 f'(0)+o(x^2)
et donc $\varphi(x)=f(0)+o(x^2)$
Ce qui montre que $\varphi$ est prolongeable par continuité en 0
en posant $\varphi(0)=f(0)$ et ce prolongement est dérivable en 0 avec
$\varphi'(0)=0$ -
Oui bien vu Bd2017 (tu)
-
Rebonjour
@Os Evidemment c'est sous entendu que cela demande de connaître les DL.
Maintenant pour $x\neq 0.$
Je pense qu'il serait bien de compléter l'exercice en se posant la question suivante:
$\varphi$ est-elle de classe $C^1$?
(ce qui revient à se demander si sa dérivée est continue en x=0) -
Je connais les DL j'ai du passer un mois à les étudier.
La dérivée est continue en 0 je l'ai démonté plus haut. La limite de la dérivée est nulle en 0 donc finie. -
Non, mais OS dit "Amen" à tout, sans se poser de questions, sans rien vérifier. Donc je le dis pour lui surtout. Ca prouve que quand il dit te dit "oui", il ne comprend pas ou n'a pas pris le temps de comprendre quelque chose qui demande une minute.
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Je ne suis pas d'accord avec ça :
La fonction $\varphi$ n'est pas définie en $0$.OShine a écrit:Donc $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} \varphi(x)=f(0)}$ donc $\varphi$ est continue en $0$.
Elle ne peut donc pas être continue en ce point.
Mais on peut la prolonger par continuité.
En un sens c'est juste du pinaillage, mais je crois qu'il est bon d'avoir une rédaction précise. -
Verdurin ok merci.
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