Exercice intégrale pour Oshine
Un peu comme à la christophe c je propose un exercice à Oshine, mais celui ci est sans astuce, classique mais où il faut bien rédiger.
Un dessin peut aider si tu galères...
C'est un exercice SUP donc ne commence pas à stresser en mode "oui mais je connais pas c'est pas au programme etc"
But de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$
Montrer que
$\int_0^1 f(t)cos(\lambda t)dt \to 0$ quand $\lambda \to \infty$
1) Soit $\epsilon > 0$. Montrer qu'il existe une fonction en escalier notée $e_{\epsilon}$ telle que pour tout $x\in[0,1], |f(x) - e_{\epsilon}(x)| \leq \epsilon$
Indication : Utiliser le fait qu'une fonction continue sur un segment est ....
2) Démontrer alors le théorème.
Pas d'indication
PS : une fonction en escalier $e$ sur $[0,1]$ est une fonction telle qu'il existe $a_0 = 0 < a_1 < a_2 < ... < a_n = 1$ avec $e$ qui est constante sur tous les intervalles du type $]a_i,a_{i+1}[$.
Le principe est que tu t’entraînes à chercher un exo pas ultra compliqué mais un peu pénible à rédiger, et ce sans aide et sans correction.
Un dessin peut aider si tu galères...
C'est un exercice SUP donc ne commence pas à stresser en mode "oui mais je connais pas c'est pas au programme etc"
But de l'exercice :
Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$
Montrer que
$\int_0^1 f(t)cos(\lambda t)dt \to 0$ quand $\lambda \to \infty$
1) Soit $\epsilon > 0$. Montrer qu'il existe une fonction en escalier notée $e_{\epsilon}$ telle que pour tout $x\in[0,1], |f(x) - e_{\epsilon}(x)| \leq \epsilon$
Indication : Utiliser le fait qu'une fonction continue sur un segment est ....
2) Démontrer alors le théorème.
Pas d'indication
PS : une fonction en escalier $e$ sur $[0,1]$ est une fonction telle qu'il existe $a_0 = 0 < a_1 < a_2 < ... < a_n = 1$ avec $e$ qui est constante sur tous les intervalles du type $]a_i,a_{i+1}[$.
Le principe est que tu t’entraînes à chercher un exo pas ultra compliqué mais un peu pénible à rédiger, et ce sans aide et sans correction.
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Réponses
Un exercice labellisé "pour Oshine" ne doit pas comporter d'étape. Il est brut de décoffrage et c'est à Oshine - que je salue - de tailler les marches.
Bonne journée à tous,
e.v.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2198968,2199428#msg-2199428
Mais je pense qu'OShine doit au contraire continuer à chercher des problèmes classiques de concours. Lesquels peuvent être d'ailleurs plus ou moins guidés.
Trouver une intégrale qu'on sait calculer mais qui est difficile pour gebrane, ce n'est pas si simple, sauf si on est Fin de Partie.
En fête, je voulais écrire « brute de déchiffrage » et mon GPS a corrigé tout seul.
e.v.
Oh !!!! (:D
Cordialement,
Rescassol
Soit $\varepsilon>0$. La fonction $f$ est continue sur $[0,1]$, d'après le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue donc il existe $\eta>0$ tel que $\forall (x,y) \in \R^2 \ |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon$.
On choisit $n$ assez grand de sorte que $\dfrac{1}{n} \leq \eta$
Notons $a_k=0+\dfrac{k}{n}$ pour $k \in [[0,n|]$.
Définissons la fonction $e_{\varepsilon}(x)=\begin{cases}
f(a_k) \ \text{si} \ x \in [a_k,a_{k+1}[ \ \ \ k \in [|0,n-1|] \\
f(1) \ \ \text{si} \ x=1\\ \end{cases}$
Il est clair que $e_{\varepsilon}(1)-f(1)=0 \leq \varepsilon$ et pour $x \in [0,1[$ il existe $k$ unique tel que $x \in [a_k,a_{k+1}[$.
Or $a_k \leq x < a_{k+1}[ \implies 0 \leq x-a_k < a_{k+1}-a_k=\dfrac{1}{n} \leq \eta$ (ce qui explique le choix de $n$).
Donc $\boxed{|f(x)- e_{\varepsilon}(x)|=|f(x)-f(a_k)| \leq \varepsilon}$
La fonction définie répond au problème.
Question $2$ :
Soit $\varepsilon >0$.
D'après la question $1$, il existe une fonction en escalier $e_{\varepsilon}$ tel que $|f-e_{\varepsilon}| \leq \varepsilon$
$| \displaystyle\int_0^1 f(t) \cos(\lambda t) dt \big| \leq | \displaystyle\int_0^1 (f(t)-e_{\varepsilon}(t)) \cos(\lambda t) dt |+| \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt | \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \leq \varepsilon | \displaystyle\int_0^1 \cos(\lambda t) dt |+ | \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt | $
Par ailleurs $ \displaystyle\int_0^1 \cos(\lambda t) dt = \dfrac{\sin(\lambda)}{\lambda} \longrightarrow_{+\infty} 0$
Il reste à montrer que $\displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt $ converge vers $0$.
Soit $\sigma=(u_0,u_1, \cdots ,u_n)$ une subdivision de $e_{\varepsilon}$. On peut écrire :
$e_{\varepsilon}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(b_i) 1_{]u_i,u_{i+1}[} + \displaystyle\sum_{i=0}^{n} f(u_i) 1_{ \{u_i \}}$ où $b_i$ est la valeur prise par $f$ sur l'ouvert $]u_i,u_{i+1}[$.
Soit $J=[a,b] \subset [0,1]$.
On a $\displaystyle\int_0^1 1_J \cos(\lambda t) dt = \displaystyle\int_a^b \cos(\lambda t) dt =\dfrac{\sin( \lambda b)-\sin(\lambda a)}{\lambda}$
Donc $|\displaystyle\int_0^1 1_J \cos(\lambda t) dt | \leq \dfrac{2}{|\lambda|}$
Ainsi $\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 1_J \cos(\lambda t) dt =0$
Mais toute fonction en escalier est combinaison linéaire de fonctions indicatrices, ainsi :
$\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon} \cos(\lambda t) dt =0$
Enfin $\boxed{\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 f(t) \cos(\lambda t) dt=0}$
L'inégalité $\ |\int (f - e)\cos| + |\int e \cos| \leq \epsilon |\int \cos| + |\int e \cos|\ $ est fausse
Il faut donc adapter le raisonnement.
En tout cas, si tu pouvais faire ce travail à chaque exercice au lieu d'abandonner toujours trop vite...
Calculons $ \displaystyle\int_0^1 | \cos(\lambda t) | dt $. Prenons $\lambda > 1$.
On sait que $\forall t \in [0,1] \ \cos(\lambda t) \geq 0$ si et seulement si $- \dfrac{\pi}{2}+ 2k \pi \leq \lambda t \leq \dfrac{\pi}{2}+ 2k \pi $
Je n'arrive pas à calculer cette intégrale.
Soit $\lambda >1$ ce qui est possible car on cherche une limite en $+\infty$. SI je fais la majoration suivante ça ne fonctionne pas :
$ \displaystyle\int_{0}^1 | \cos(\lambda t)| dt \leq \displaystyle\int_{0}^{1} dt$
Soit $\varepsilon >0$
On a $ | \displaystyle\int_0^1 f(t) \cos(\lambda t) dt \big| \leq | \displaystyle\int_0^1 (f(t)-e_{\varepsilon}(t)) \cos(\lambda t) dt |+| \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt | \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leq \varepsilon + | \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt |$
Or j'ai montré que $\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon} \cos(\lambda t) dt =0$
Ainsi, il existe $\lambda_0 \in \R$ tel que $\forall \lambda \in \R$ $\lambda \geq \lambda_0 \implies | \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt | \leq \varepsilon$
Donc $\exists \lambda_0 \in \R \ \forall \lambda \in \R \ \ \ \lambda \geq \lambda_0 \implies | \displaystyle\int_0^1 f(t) \cos(\lambda t) dt \big| \leq \varepsilon + \varepsilon=2 \varepsilon$
Ce qui montre que le résultat.