Exercice intégrale pour Oshine

Je ne valide pas le label "Exercice pour Oshine".

Un exercice labellisé "pour Oshine" ne doit pas comporter d'étape. Il est brut de décoffrage et c'est à Oshine - que je salue - de tailler les marches.

Bonne journée à tous,

e.v.

On n'apprend plus le théorème de Stone-Weierstrass?

Merci pour l'exercice. J'essaierai de le résoudre aujourd'hui.

Trouver un exercice facile pour soi et difficile pour OShine ne demande pas beaucoup d'efforts.

Trouver une intégrale qu'on sait calculer mais qui est difficile pour gebrane, ce n'est pas si simple, sauf si on est Fin de Partie.

Bonjour,

ev a écrit:

En fête, je voulais écrire .................

Oh !!!! (:D

Cordialement,

Rescassol

La question $2$ est difficile j'ai du y passer 1 heure.

Question $2$ :

Soit $\varepsilon >0$.

D'après la question $1$, il existe une fonction en escalier $e_{\varepsilon}$ tel que $|f-e_{\varepsilon}| \leq \varepsilon$

$| \displaystyle\int_0^1 f(t) \cos(\lambda t) dt \big| \leq | \displaystyle\int_0^1 (f(t)-e_{\varepsilon}(t)) \cos(\lambda t) dt |+| \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt | \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \leq \varepsilon | \displaystyle\int_0^1 \cos(\lambda t) dt |+ | \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt | $

Par ailleurs $ \displaystyle\int_0^1 \cos(\lambda t) dt = \dfrac{\sin(\lambda)}{\lambda} \longrightarrow_{+\infty} 0$

Il reste à montrer que $\displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon}(t) \cos(\lambda t) dt $ converge vers $0$.

Soit $\sigma=(u_0,u_1, \cdots ,u_n)$ une subdivision de $e_{\varepsilon}$. On peut écrire :

$e_{\varepsilon}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f(b_i) 1_{]u_i,u_{i+1}[} + \displaystyle\sum_{i=0}^{n} f(u_i) 1_{ \{u_i \}}$ où $b_i$ est la valeur prise par $f$ sur l'ouvert $]u_i,u_{i+1}[$.

Soit $J=[a,b] \subset [0,1]$.

On a $\displaystyle\int_0^1 1_J \cos(\lambda t) dt = \displaystyle\int_a^b \cos(\lambda t) dt =\dfrac{\sin( \lambda b)-\sin(\lambda a)}{\lambda}$

Donc $|\displaystyle\int_0^1 1_J \cos(\lambda t) dt | \leq \dfrac{2}{|\lambda|}$

Ainsi $\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 1_J \cos(\lambda t) dt =0$

Mais toute fonction en escalier est combinaison linéaire de fonctions indicatrices, ainsi :

$\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 e_{\varepsilon} \cos(\lambda t) dt =0$

Enfin $\boxed{\lim\limits_{\lambda \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_0^1 f(t) \cos(\lambda t) dt=0}$

OK, merci je vois l'erreur.

On a $ | \displaystyle\int_0^1 (f(t)-e_{\varepsilon}(t)) \cos(\lambda t) dt | \leq \varepsilon \displaystyle\int_0^1 | \cos(\lambda t) | dt $

Calculons $ \displaystyle\int_0^1 | \cos(\lambda t) | dt $. Prenons $\lambda > 1$.

On sait que $\forall t \in [0,1] \ \cos(\lambda t) \geq 0$ si et seulement si $- \dfrac{\pi}{2}+ 2k \pi \leq \lambda t \leq \dfrac{\pi}{2}+ 2k \pi $

Je n'arrive pas à calculer cette intégrale.

Je n'ai pas besoin de la calculer en effet. Je dois montrer qu'elle converge vers $0$ mais je n'y arrive pas.

Soit $\lambda >1$ ce qui est possible car on cherche une limite en $+\infty$. SI je fais la majoration suivante ça ne fonctionne pas :

$ \displaystyle\int_{0}^1 | \cos(\lambda t)| dt \leq \displaystyle\int_{0}^{1} dt$