Calcul d'une intégrale

evariste21 · March 2021

Bonjour !
Pouvez-vous me donner des suggestions pour calculer l'intégrale suivante ?
$$
\int \frac{(2x+\frac{1}{2}i(e^{-ix}-e^{ix}))(\frac{1}{2}i(e^{-ix}-e^{ix})(x^{2}+1)-(2+\frac{1}{2}(e^{-ix}+e^{ix}))x)}{(2+\frac{1}{2}(e^{-ix}+e^{ix}))^{2}\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}dx.

$$ Je pense que le terme donne beaucoup de mal quand on essaie de faire un calcul $\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}$. J'ai également réécrit le problème en expressions trigonométriques, mais je n'ai pas non plus vu d'amélioration dans l'approximation de la solution.
Merci d'avance.

Fin de partie · March 2021

A quoi servent les exponentielles complexes? Tu ne peux pas remplacer par cos/sin?

gerard0 · March 2021

Bonjour.

$\sqrt{(x^{2}+1)^{2}}$ se simplifie très bien. Ce qui permet, si nécessaire, de simplifier le $\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}$ de ton intégrale.

Cordialement.

evariste21 · March 2021

@Fin de partie: Ma première tentative a été d'écrire (enfin, de réécrire) l'intégrale avec les fonctions cos et sin. Cependant, il ne m’est pas possible d’avancer.

@gerard0: C'était une erreur dans mon commentaire exposant $2$ à $(x^{2} +1)$, j'ai corrigé ma question d'origine. Cependant, je considère que ce montant est celui qui me pose des problèmes lors de l'intégration.

jean lismonde · March 2021

Bonjour
ton écriture mathématique est consternante.
Après simplification ton intégrale sans borne peut s'écrire :
$$
\int\frac{(2x+\sin x)\sin x}{(2+\cos x)^2\sqrt{x^2+1}}dx - \int\frac{2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}dx.

$$ La seconde intégrale se calcule en posant $x = \sinh(t)$ (sinus hyperbolique de $t$), quant à la première intégrale elle est lourde et nécessite double changement de variable.
Cordialement.

evariste21 · March 2021

Très bonne suggestion.
Merci beaucoup.

Calcul d'une intégrale

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