Limite d'une suite

$u_{n+1}=3u_n(1-u_n)$.

Petit raisonnement : supposons que la suite converge vers un réel $\ell$.
Alors que peut-on dire de ce $\ell$ quand on fait tendre $n$ vers l'infini dans l'égalité proposée ?

Edit : je n'avais pas vu le message de Gilles, que je salue.

Bonjour,
en suivant les conseils, et en construisant les termes (sur geogébra par exemple) on peut constater la convergence
https://www.geogebra.org/calculator/tv8p55tc
(surpris par les 50000 termes du tableur, je la "vois" converger plus vite).
Par contre, @gilles benson, il me semble (au vu du dessin) qu'elle n'est pas monotone mais en spirale... ? Le point fixe est du côté décroissant de la courbe...

Bonne journée

Hello @JLT,
D'accord, mais je ne voulais pas forcément résoudre l'exercice... je faisais suite à la question, c'est tout !
Et puis, pour pinailler, on démarre à $u_0=0.3$ qui n'est pas dans $[\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$... mais on est d'accord que ça va y rentrer vite fait...
D'ailleurs, en choisissant bien l'intervalle $I$ (i.e. dès que $x>\frac{1}{3}$), on pourra majorer $|f'(x)|$ par $k<1$, inégalité des accroissement finis avec f contractante sur $I$ (théorème du point fixe quoi...) et on conclut. Je ne sais pas ce qui est le plus rapide...
@+

@ JLT : exact... shame on me... le point fixe est $\frac{2}{3}$ :-( et $f'(\frac{2}{3})=-1$, $f'$ affine décroissante.... perdu une belle occasion de me taire !

Je vais me jeter ... sous mon chat !

Ma réponse n'est pas tout à fait complète, il reste certaines choses non triviales à compléter.

voir à ce sujet les opuscules d'Holmgren, Carleson et Gamelin et Devaney sur les systèmes dynamiques.

Dans ce fil il y a un lien d'un excellent document de Daniel Perrin. regarder le théorème page 13 ( 2.4 théorème)

excusez moi je réalise que je n'ai pas donné le lien vers le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,675992 ou bien vers le document en question https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf

J'ai démontré que $u_{2n}-\dfrac23\sim\dfrac1{6\sqrt n}$ (pour $u_0=0.3$).

C'est confirmé par un calcul approché.

Je trouve la même relation de récurrence que Gilles Benson.

On peut aller plus loin dans le développement asymptotique : $u_{2n}-\dfrac23-\dfrac1{6\sqrt n}\sim-\dfrac1{24n}$

Pour résumer le processus, l'outil principal est une relation de récurrence de la forme: $u_{n+1} = f(u_n) $ avec $f(x) = x + a_k x^k + \dots $ avec $a_k < 0$, ce qui sous-entend que $0 $ est point fixe de $f$. Dans la mesure où la suite $(u_n)$ converge vers $0$ en décroissant, on peut procéder à certaines manipulations. Ici, on a $u_{2n+2} = f\circ f(u_{2n}) $ et le point fixe est $2/3$ d'où la transformation $w_n = u_{2n} - 2/3$. En partant du fait que $u_2 > 2/3$, tout se passe bien.
Maintenant, la relation $w_{n+1} = w_n - 18w_n^3 -27 w_n^4$ ne permet pas de reproduire la méthode classique de développement du premier terme de l'itération du sinus car il manque un terme en $w_n^2$; il faut donc procéder à un changement de suite inconnue en prenant $v_n = w_n^2$, soit $w_n = \sqrt{v_n}$, ce qui est possible au niveau des signes.
On obtient alors :
\begin{align*}
\sqrt{v_{n+1}} - \sqrt{v_n} &= -18v_n\sqrt{v_n}-27 v_n^2 &\text{et} \\

\sqrt{v_{n+1}} + \sqrt{v_n} &= 2 \sqrt{v_n}-18v_n\sqrt{v_n}-27 v_n^2

\end{align*} En multipliant, on obtient :
$$
v_{n+1} - v_n = -36v_n^2 + O(v_n^{5/2}).

$$ On prend alors les inverses: $a_n = \frac{1}{v_n}$ et un développement simple donne :
$$
a_{n+1} - a_n = 36 + O(a_n^{-3/2}).

$$ On somme ces égalités de 1 à $N-1$ pour obtenir :
$$
a_N = 36N + O(1),

$$ dans la mesure où $a_n$ tend vers l'infini. Il ne reste plus qu'à revenir à $u_{2n}$ (et c'est là où mon 6 est resté au numérateur...).

Et le terme suivant du développement est bien $-\frac{1}{24n}$, ce que l'on obtient en utilisant à nouveau la relation:
$$
w_{n+1} = w_n - 18w_n^3 -27 w_n^4,

$$ dans laquelle on remplace $w_n$ par $t_n + \dfrac{1}{6\sqrt{n}}$ dans le membre de gauche et par $\dfrac{1}{6\sqrt{n}} + o( \dfrac{1}{\sqrt{n}})$ dans le membre de droite.
On développe en ne conservant que les termes d'ordre $n^{-2}$ au maximum :
$$
t_{n+1} + \dfrac{1}{6\sqrt{n+1}} = t_n + \dfrac{1}{6\sqrt{n}} - 18 \Big( \dfrac{1}{6\sqrt{n}} + o\big( \dfrac{1}{\sqrt{n}}\big) \Big) ^3 -27 \Big( \dfrac{1}{6\sqrt{n}} + o\big( \dfrac{1}{\sqrt{n}}\big) \Big)^4 .

$$ Ensuite, $ \dfrac{1}{6\sqrt{n}} -\dfrac{1}{6\sqrt{n+1}} = \dfrac{1}{6\sqrt{n}} \Big( 1 - \big(1 + \frac{1}{n} \big)^{-1/2} \Big) = \dfrac{1}{12n\sqrt{n}} + o(n^{-2})$.

De même, $-18 \Big( \dfrac{1}{6\sqrt{n}} + o\big( \dfrac{1}{\sqrt{n}}\big) \Big) ^3 = -\dfrac{1}{12n\sqrt{n}} + o(n^{-2})$.
Et $ -27 \Big( \dfrac{1}{6\sqrt{n}} + o\big( \dfrac{1}{\sqrt{n}}\big) \Big)^4 = -\dfrac{1}{48n^2} + o(n^{-2})$.

Finalement, on a:
$$
t_{n+1} - t_n \; = \; -\dfrac{1}{48n^2} + o(n^{-2}).

$$ En sommant à nouveau entre 1 et $N$, on obtient le résultat de Jandri.

Voici comment je rédigerais la deuxième étape.
On a la fonction : $h(x)=x(1-18x^{2}-27x^{3})$. On a vu que $h(x)^{-2}-x^{-2}$ a une limite finie, égale à $36$, quand $x\rightarrow 0$. L'idée est de pousser le développement limité de $h(x)^{-2}-x^{-2}$, qiui donne : $h(x)^{-2}-x^{-2}=x^{-2}((1-18x^{2}-27x^{3})^{-2}-1)=36+54x+o(x)$
On a trouvé : $w_{n}\sim \frac{1}{6\sqrt{n}}$ quand $n \rightarrow + \infty$.
Il en résulte : $\displaystyle w_{n}^{-2}-w_{1}^{-2}=\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}(w_{k+1}^{-2}-w_{k}^{-2})$$\displaystyle =36\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}1+54\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}w_{k}(1+o(1))$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle =36(n-1)+54\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{6\sqrt{k}}(1+o(1))$.
Or $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim \int_{1}^{n}%
\frac{dt}{\sqrt{t}}\sim 2\sqrt{n}$.
En conséquence : $w_{n}^{-2}=36n+18\sqrt{n}+o(\sqrt{n})=36n(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}+o(\frac{1}{%
\sqrt{n}}))$, et enfin :
$w_{n}=(36n)^{-\frac{1}{2}}(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}+o(\frac{1}{\sqrt{n}}))^{-%
\frac{1}{2}}=\frac{1}{6\sqrt{n}}(1-\frac{1}{4\sqrt{n}}+o(\frac{1}{\sqrt{n}}%
))=\frac{1}{6\sqrt{n}}-\frac{1}{24n}+o(\frac{1}{n})$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
25/03/2021

Allez, troisième étape.
Sur la fonction : $h(x)=x(1-18x^{2}-27x^{3})$, exécutons un développement limité à un cran de plus :
$h(x)^{-2}-x^{-2}=x^{-2}((1-18x^{2}-27x^{3})^{-2}-1)=36+54x+972x^{2}+o(x^{2})$.
Il en résulte : $\displaystyle w_{n}^{-2}-w_{1}^{-2}=\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}(w_{k+1}^{-2}-w_{k}^{-2})$$\displaystyle =36\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}1+54\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}w_{k}+972\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}w_{k}^{2}(1+o(1))$.

Il faut évaluer ces trois $\sum $, en utilisant le développement limité de $w_n$ déjà acquis : $w_{n}=\frac{1}{6\sqrt{n}}-\frac{1}{24n}+o(\frac{1}{n})$.
- Le premier $\sum $ est encore trivial : $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}1=n-1$.
- Le dernier $\sum $ est : $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}w_{k}^{2}(1+o(1))=%
\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{36k}(1+o(1))=\frac{1}{36}(\ln
n)(1+o(1))$.
C'est lui qui donne la précision qui sera celle du développement asymptotique que l’on obtiendra in fine.
- Le deuxième $\sum $ est : $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}w_{k}
=\frac{1}{6}\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{24}\underset{%
k=1}{\overset{n-1}{\sum }}(\frac{1}{k}+o(\frac{1}{k}))$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{1}{6}(2\sqrt{n}+C+o(1))-\frac{1}{24}(\ln n)(1+o(1))=\frac{1}{3}\sqrt{%
n}-\frac{1}{24}\ln n+o(\ln n)$.

En regroupant : $w_{n}^{-2}=36n+54(\frac{1}{3}\sqrt{n}-\frac{1}{24}\ln n)+\frac{972}{36}\ln n+o(\ln n)$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=36n+18\sqrt{n}+\frac{99}{4}\ln n+o(\ln n)=36n(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}+\frac{%
11}{16}\cdot \frac{\ln n}{n}+o(\frac{\ln n}{n}))$.

Et pour finir : $w_{n}=(36n)^{-\frac{1}{2}}(1+\frac{1}{2\sqrt{n}}+\frac{11}{16}\cdot \frac{%
\ln n}{n}+o(\frac{\ln n}{n}))^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{6\sqrt{n}}(1-\frac{1}{4%
\sqrt{n}}-\frac{11}{32}\cdot \frac{\ln n}{n}+o(\frac{\ln n}{n}))$,
soit en conclusion :
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\displaystyle w_n=\frac{1}{6\sqrt{n}}-\frac{1}{24n}-\frac{11}{192}\cdot \frac{\ln n}{n \sqrt{n}}+o(\frac{\ln n}{n \sqrt{n}})$.

C'est assez fastidieux, mais on voit bien la méthode, qui peut se prolonger, avec complications croissantes au fur et à mesure qu'on recherche une plus grande précision. Maintenant je ne garantis pas l'absence d'erreur de calcul
Bonne journée.
Fr. Ch.
25/03/2021