Domaine de définition intégrale

cagou05 · March 2021

Bonjour,
je voudrais déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ suivante définie par une intégrale :
$$
g : x \longmapsto \int_{1}^{x} \frac{1}{1+\ln(t)} ~\textrm{d}t .

$$ Je pense que c'est $ \big] \frac{1}{e}; + \infty\big[$, mais je n'en suis pas sûr.
Merci.

gebrane · March 2021

Oui.

totem · March 2021

Pourquoi ne serait-ce pas $\big]0; \frac{1}{e} \big[ \cup \big] \frac{1}{e}; + \infty\big[ $ ?

gebrane · March 2021

Totem si tu prends un x entre 0 et 1/e et si tu vas de 1 vers ce x, j'ai bien peur que tu dois saluer le 1/e en cour de route

jean lismonde · March 2021

Bonjour

On peut dire que le champ de définition de ta fonction est ]0 ; + oo[

ta fonction intégrande $\frac{1}{1+lnt}$ admet une discontinuité pour x = 1/e, valeur comprise entre 0 et 1

mais cette discontinuité entraîne une double divergence compensée dans l'intégration
un peu comme pour la fonction logarithme intégral

en effet $\int_0^x\frac{1}{lnt}dt$ est bien déterminée sur R+ privé de 1
(la double divergence est compensée autour du pôle t = 1)

et on sait que l'intégrale numérique (avec $\gamma$ constante d'Euler)

$$\int_0^e\frac{1}{lnt}dt = \gamma - \frac{1}{1.1!} + \frac{1}{2.2!} - \frac{1}{3.3!} +....... = - 0,2193839.....$$

Cordialement

SERGE_S · March 2021

@ cagou05 : la première chose à faire c'est déterminer le domaine de définition de la fonction intégrande. Ensuite la primitive de cette fonction integrande est définie sur un intervalle [1, x] ou [x,1] suivant que x soit plus grand ou plus petit de 1. Cet intervalle doit être inclus dans le domaine de définition de la fonction intégrande.

llorteLEG · March 2021

jean lismonde, non l'intégrale est divergente et même si on parle de valeur principale autour de 1, cette valeur vaut

$li(e) = \gamma + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{kk!}\sim 1.895$

Poirot · March 2021

Message du service public : jean lismonde utilise une notion de convergence qui lui est propre, et n'est pas partagée par la communauté mathématique, son message est donc à prendre au second degré...

julian · March 2021

Convergence explosive!!!!

cagou05 · March 2021

Est-il nécessaire que l'intervalle [1;x] ou [x;1] soit inclus dans le domaine de définition de la fonction intégrande ? En effet il suffit que la fonction intégrande soit continue par morceaux, et pourrait ne pas être définie en un réel a mais avoir une limite finie à gauche et à droite de a.
Et donc si dans mon cas elle l'était (ce qui ne l'est pas car la limite en 1/e est infinie) alors g serait définie sur R+*.

gebrane · March 2021

Bonsoir, est ce que un admin peut faire le nettoyage dans ce fil pour l'intérêt de cagou.
Cagou puis-je savoir ton niveau?

gerard0 · March 2021

Tout dépend de la notion d'intégrale que tu utilises, Cagou05 ... Pour une intégrale de Riemann, il faut que la fonction soit définie partout sur l'intervalle (y compris ses bornes). Si la fonction n'est pas définie en un point intérieur à l'intervalle, on lui donne une valeur (on prolonge), et la fonction est définie partout. Reste à voir si l'intégrale a un sens. Dans ton cas, c'est non. Mais même quand ça marche, on a déjà changé de fonction, ou, ce qui revient au même, changé de notion d'intégrale (intégrale de Riemann généralisée).

Cordialement

cagou05 · March 2021

Alors à la base j'ai un niveau DEUG A (1985),puis ingénieur en microélectronique, mais pas vraiment de maths en plus.
Après avoir travaillé dans le privé entré dans l'enseignement en 1995.
Bossé seul sur les bouquins pour le capes interne et l'agrégation interne obtenu en 2012.
Donc eu le temps de perdre plein de notions.

Il s'agit de l'intégrale de Riemann généralisée et non de Lebesgue.

Dans le Jean-Marie Monier Analyse MP 5ème édition, p 136,
il est écrit que si $f$ est continue par morceaux sur $I$, alors $F$ est continue sur $I$ (avec les notations classiques utilisées dans l'énoncé de mon pb).
Cordialement.

[Henri Lebesgue (1875-1941) mérite le respect de son patronyme. AD]

gebrane · March 2021

Ok et merci, donc c'est au sens des intégrales généralisées. Ce que tu as écrit à ton premier message est juste. Maintenant, il te reste à le justifier.