Bonjour,
je voudrais déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ suivante définie par une intégrale :
$$
g : x \longmapsto \int_{1}^{x} \frac{1}{1+\ln(t)} ~\textrm{d}t .
$$ Je pense que c'est $ \big] \frac{1}{e}; + \infty\big[$, mais je n'en suis pas sûr.
Merci.
Réponses
On peut dire que le champ de définition de ta fonction est ]0 ; + oo[
ta fonction intégrande $\frac{1}{1+lnt}$ admet une discontinuité pour x = 1/e, valeur comprise entre 0 et 1
mais cette discontinuité entraîne une double divergence compensée dans l'intégration
un peu comme pour la fonction logarithme intégral
en effet $\int_0^x\frac{1}{lnt}dt$ est bien déterminée sur R+ privé de 1
(la double divergence est compensée autour du pôle t = 1)
et on sait que l'intégrale numérique (avec $\gamma$ constante d'Euler)
$$\int_0^e\frac{1}{lnt}dt = \gamma - \frac{1}{1.1!} + \frac{1}{2.2!} - \frac{1}{3.3!} +....... = - 0,2193839.....$$
Cordialement
$li(e) = \gamma + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{kk!}\sim 1.895$
Et donc si dans mon cas elle l'était (ce qui ne l'est pas car la limite en 1/e est infinie) alors g serait définie sur R+*.
Cagou puis-je savoir ton niveau?
Cordialement
Après avoir travaillé dans le privé entré dans l'enseignement en 1995.
Bossé seul sur les bouquins pour le capes interne et l'agrégation interne obtenu en 2012.
Donc eu le temps de perdre plein de notions.
Il s'agit de l'intégrale de Riemann généralisée et non de Lebesgue.
Dans le Jean-Marie Monier Analyse MP 5ème édition, p 136,
il est écrit que si $f$ est continue par morceaux sur $I$, alors $F$ est continue sur $I$ (avec les notations classiques utilisées dans l'énoncé de mon pb).
Cordialement.
[Henri Lebesgue (1875-1941) mérite le respect de son patronyme. AD]