Continuité
Bonsoir,
$f$ est continue en $1$ si et seulement si $\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \alpha >0, \ \ |t-1| \leq \alpha \implies |f(t)-f(1)| \leq \varepsilon$.
Mais je ne comprends pas la caractérisation suivante :
$f$ est continue en $1$ donc $\forall \varepsilon>0, \ \exists \alpha \in [0,1[ , \ \forall t \in [\alpha,1], \ \ |f(t)-f(1)| \leq \varepsilon$.
$f$ est continue en $1$ si et seulement si $\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \alpha >0, \ \ |t-1| \leq \alpha \implies |f(t)-f(1)| \leq \varepsilon$.
Mais je ne comprends pas la caractérisation suivante :
$f$ est continue en $1$ donc $\forall \varepsilon>0, \ \exists \alpha \in [0,1[ , \ \forall t \in [\alpha,1], \ \ |f(t)-f(1)| \leq \varepsilon$.
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Réponses
Le $\alpha$ de la deuxième condition correspond à $1-\eta$ dans la première. On fixe $\varepsilon$. On trouve $\eta>0$. Quitte à remplacer $\eta$ par $1/2$ si $\eta\ge1$, on peut supposer que $\eta<1$. On pose $\alpha=1-\eta<1$. Alors, pour $t\in[0,1]$, on a \[t\in[\alpha,1]\iff t\ge\alpha\iff 1-t\le1-\alpha\iff |t-1|\le1-\alpha\iff |t-1|\le\eta\] donc pour ces $t$, on a bien $|f(t)-f(1)|\le\varepsilon$.
Édit ok il parle d'une implication avec son donc. Désolé pour le bruit
Encore une fois, tu ne comprends pas le rôle (la signification concrète) des quantificateurs.
En résumé ici on prend un voisinage à gauche de $1$ ?
"Si une propriété est vraie pour un $\eta>0$, elle est vraie pour un $0<\eta\le \frac 1 2$".
Ou alors j’ai mal suivi l’échange.
Si un truc est vrai pour tout élément de A.
Alors : pour tout $B \subset A$, le truc est vrai pour tout élément de B.
Je vieillis, je vieillis !!