Calcul de somme infinie
Bonjour,
Question $1$ :
$\lambda$ est de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$ donc $\lambda$ est bornée par un réel $M$.
$u$ tend vers $+\infty$ donc il existe un rang à partir duquel $u_n>0$
Ainsi $ \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt \leq M \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(u_n t) dt= M \dfrac{1- \cos( \pi u_n)}{u_n} \longrightarrow 0$
Mais ne connaissant pas le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale je bloque pour la minoration.
Question $1$ :
$\lambda$ est de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$ donc $\lambda$ est bornée par un réel $M$.
$u$ tend vers $+\infty$ donc il existe un rang à partir duquel $u_n>0$
Ainsi $ \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt \leq M \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(u_n t) dt= M \dfrac{1- \cos( \pi u_n)}{u_n} \longrightarrow 0$
Mais ne connaissant pas le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale je bloque pour la minoration.
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Réponses
Plus précisément, tu calcules une primitives de $|\sin u_nt|$ comme s'il n'y avait pas de valeur absolue. Certes le sinus est positif sur $[0,\pi]$ mais là, ce n'est pas le sinus de $t$ mais de $u_nt$, et ce sinus là change de signe tous les $k\pi/u_n$ ($0\le k\le \lfloor u_n\rfloor$).
J'ai oublié d'en enlever une qui traînait. Ma deuxième idée était de raisonner sans les valeurs absolues.
Mais je suis d'accord avec ta remarque j'allais faire cette erreur au départ.
Par IPP :
$I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt=\displaystyle\int_{0}^{\pi} u v'$
On a $u(t)=\lambda(t)$ de classe $C^1$ et $v(t)=\dfrac{- \cos(u_n t)}{u_n}$ aussi sur $[0,\pi]$.
Donc $I_n= -\lambda (\pi) \dfrac{cos(u_n \pi )}{u_n} +\dfrac{\lambda(0)}{u_n} + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda'(t) \dfrac{ \cos(u_n t)}{u_n} dt$
Or $\lambda$ est continue et $\lambda'$ aussi donc il existe $M,M' \in \R$ tel que $|f| \leq M$ et $|f'| \leq M'$.
Ainsi $|I_n| \leq \dfrac{ | \lambda(0) - \lambda(\pi) \cos(u_n \pi)|}{u_n} + M' \dfrac{ \pi}{u_n}$.
Par caractérisation séquentielle de la limité, on a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{ | \lambda(0) - \lambda(\pi) \cos(u_n \pi)|}{u_n} + M' \dfrac{ \pi}{u_n}=0$
Et donc $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt=0}$
Ok pour les autres coquilles.
Oui c'est par composition des limites.
On lit $[0;1]$ au lieu de $[0;\pi]$ et la suite $u$ n’est pas nommée dans la consigne « 1. ».
@Os arrivé à ta majoration de $|I_n|,$ c'est évident qu'on obtient que $|I_n|$ tend vers 0.
Mais alors je ne comprends pas ce que tu entends "par composition des limites..."
Peux tu expliquer?
Question $2$ :
2IPP successives fournissent le résultat.
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t) \cos(nt) dt=\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{0}^{\pi} (\dfrac{t}{\pi}-1) \sin(nt) dt=\boxed{\dfrac{1}{n^2}}$
Question $3$ :
Je ne trouve pas mon erreur. Ma formule ne ressemble pas à celle à démontrer :-S
Soit $t \notin 2 \pi \Z$. On a $\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt)=Re(\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{ikt})$
Or $\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{ikt}= \dfrac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{1-e^{it}}=\dfrac{e^{i (n+2)t /2} (e^{-i nt /2}-e^{int /2})}{e^{it/2} (e^{-it/2}-e^{it/2})}=e^{i(n+1)t /2} \dfrac{-2i \sin(nt/2)}{-2i \sin (t/2)}$
Le résultat est une différence de sinus et il y a des formules pour ça. On peut t'excuser de pas les connaître mais pas de ne pas savoir qu'elles existent (et de ne pas savoir les démontrer).
Sinon je crois que l'écriture $\sum_{k=1}^n e^{ikt}= \sum_{k=0}^n e^{ikt}-1$ simplifie les calculs.
Je trouve $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos (kt)=\dfrac{ \cos ( (n+1)t /2) \sin (nt/2)}{\sin (t/2)}}$
En utilisant $\sin(a)-\sin(b)=2 \sin (a-b)/2 \cos(a+b)/2$ on retrouve le même résultat que l'énoncé.
Je n'arrive pas à faire Q4. J'ai essayé d'écrire $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t) \displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt) dt$
Mais je ne peux pas utiliser la question $3$ car $\sin(t/2)$ n'est pas défini en $0$ et la fonction $t \mapsto \dfrac{1}{2 \sin (t/2)}$ n'est pas de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$.
Édit : tu oublies de multiplier par $f(t)$.
Je pose $\lambda(t)=\dfrac{f(t)}{\sin(t/2)}$. Or au voisinage de $0$ on a $\lambda(t) \sim \dfrac{-t+ t^2 / 2 \pi}{t/2} \sim -1+ t/ \pi $ donc $\lambda$ est continue en $0$.
Je pose $u_n=\dfrac{2n+1}{2} \longrightarrow + \infty$. Les hypothèses de la question $1$ sont vérifiées.
Il reste donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} =-\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t) dt=-\dfrac{1}{2} (-\dfrac{\pi ^2}{2}+\dfrac{\pi^3}{6 \pi})=\dfrac{1}{2} (\dfrac{\pi ^2}{2}-\dfrac{\pi^2}{6 })=\dfrac{1}{2} \dfrac{2 \pi ^2}{6}$
Finalement $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}= \dfrac{\pi ^2}{6}}$
Ouf :-o
$\lambda'(t)=\dfrac{ f'(t) \sin(t/2) + (f(t) \cos(t/2))/2}{\sin^2(t/2)}$
Le numérateur vaut $(-1+\dfrac{t}{\pi}) \sin(t/2)+\dfrac{1}{2} (\dfrac{t^2}{2 \pi}-t) \cos(t/2) \sim (-1+\dfrac{t}{\pi}) \sin(t/2) \sim - \sin(t/2) $
Donc $\lambda'(t) \sim \dfrac{- \sin(t/2)}{t^2 /4} \sim \dfrac{-2}{t} $ c'est étrange ce résultat :-S $\lambda '$ ne semble pas prolongeable par continuité en $0$...
Et l'équivalent que tu as écrit... mon dieu
Après comme tu "excelles en calcul" on doit être dans les 1% et l’énoncé est sûrement faux...
La dérivée vaut $\lambda'(t)=\dfrac{(\tfrac{t}{\pi}-1) \sin (t/2) -\tfrac{1}{2}(\tfrac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2)}{\sin^2 (t/2)}$
Or $\lim\limits_{t \rightarrow 0} -\frac{1}{2}(\frac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2)=0$ donc le numérateur est équivalent à $(\frac{t}{\pi}-1) \sin (t/2) \sim (\frac{t}{\pi}-1) \frac{t}{2} \sim -t/2$ et donc ça ne va pas fonctionner :-(
Je ne trouve pas l'erreur.
Je ne sais pas calculer la limite de $\lambda'$.
Je sais faire des DL mais la ça me semblait compliqué après je peux essayer
Le numérateur je sais faire le DL.
$\lambda'(t)=\dfrac{(\tfrac{t}{\pi}-1) \sin (t/2) -\tfrac{1}{2}(\tfrac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2)}{\sin^2 (t/2)}=\dfrac{N}{D}$
On a $\sin(t/2)=t/2-t^3 /24 + o(t^3)$ et $\cos(t/2)=1-t^2 /4 + o(t^2)$
Donc $(\tfrac{t}{\pi}-1) \sin (t/2)=t^2/(2 \pi) -t^4 / (12 \pi) -t/2+t^3 /12 + o(t^3)= \boxed{ -t/2 +t^2/(2 \pi)+t^3 /48 + o(t^3)}$
Et $\tfrac{1}{2} (\tfrac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2) =\tfrac{1}{2} (\tfrac{t^2}{2\pi}-t + t^3/4+o(t^3))= \boxed{ \tfrac{t^2}{4\pi}-t/2 + t^3/16+o(t^3)}$
Donc $\boxed{N= \frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24}+o(t^3)}$
A présent $D=(t/2-t^3 /12 + o(t^3))(t/2-t^3 /12 + o(t^3))= \boxed{ t^2 /4 +o(t^3) }$
Donc $\lambda'(t)=\dfrac{1}{1+o(t)} ( \frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24}+o(t^3) ) =o(t^3)$
Or $\dfrac{1}{1-o(t)}=1 +o(t)+o(t)^2+o(t)^3+ o(t^3)=1+o(t)$ car $o(t^3)=o(t)$ et $o(t^2)=o(t)$
Donc $\lambda'(t)= (1+o(t) ) (\frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24}+o(t^3))=\frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24} +o(t^3) $
On a montré $\boxed{\lambda'(t)=\dfrac{t^2}{2 \pi} -\dfrac{t^3}{24} +o(t^3) }$
Donc $\boxed{\lim\limits_{t \rightarrow 0} \lambda'(t)=0}$
PS2 : Ton calcul est faux mais vu que tu n'as pas encore compris en 3 ans que tu prépares tes concours que les calculateurs en ligne existent pour vérifier les calculs tu vas continuer à nous faire corriger tes erreurs. Tu préfères perdre ton temps à tout écrire en Latex... drôle de choix !
Tu préfères te faire prendre 50 remarques sur le forum sur ton incompétence alors que vérifier tes calculs ça
1) te rendrait plus autonome
2) te ferait perdre moins de temps
3) te ferait passer pour quelqu'un de moins incompétent qu'aujourd'hui
À un moment le forum veut bien t'aider à trouver tes erreurs de raisonnement mais tes erreurs d'algèbre niveau 4e tu peux les vérifier tout seul non ?
J'ai des très petites erreurs, le logiciel de calcul donne $N=\dfrac{t^2}{4 \pi}-\dfrac{t^3}{24}+O(t^4)$. J'étais très proche.
Pourquoi il donne un $O(x^4)$ alors que je demande un DL à l'ordre $3$ ?
Le DL du dénominateur j'ai bon.
On a $D \sim \dfrac{t^2}{4}$. Je ne comprends pas pourquoi un équivalent du dénominateur suffit.
Le calcul du DL du quotient je n'ai pas trop compris. Il ne ressemble pas à ceux donnés dans mon livre où il apparait à chaque fois des $1/1-u$.
C'est là où je coince alors que j'ai quasiment tout juste aux DL du numérateur et dénominateur.
Pourquoi il donne $O(x^4)$ ? Que penses-tu de $O(x^4)$ et de $o(x^3)$? N'y a-t-il pas un lien ?
$O(x^4)=u x^4$ avec $u$ bornée. Donc $\dfrac{O(x^4)}{x^3}= ux \longrightarrow 0$
$N=\dfrac{t^2}{4 \pi}-\dfrac{t^3}{24}+o(t^3)$.
Or $\dfrac{t^3}{24}+o(t^3)=o(t^2)$ (Je n'avais pas pensé à faire ça.)
Donc $\lambda'(t) \sim \dfrac{t^2}{4 \pi} \times \dfrac{4}{t^2} \sim \dfrac{1}{\pi}$
Tiens, dans ce DS, c'est juste l'exo de base d'application directe du cours. En gros, on vérifie que tu as compris ton cours, ton DM et tes colles sur ce petit exo de routine. Si celui là est déjà mal fait, le reste du DS est très compromis à mon goût.
Tu peux toujours nous proposer une rédaction simplifiée des calculs mais je vais pas te supplier non plus.
Cette question nécessitait une bonne maitrise et un recul sur les DL et des équivalents.
Alexique je pense que je sais faire les questions 1-2-3 du DS. C'est du calcul "chiant" mais je vois l'idée. Après c'est facile de se tromper dans les calculs. Donc pas simple.
Dommage que tu n'aies pas fait une prépa ou une L1.
Si $f(x)=x^3\sqrt x$, a-t-on $f(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad} o(x^3) $ ? A-t-on $f(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad} O(x^4) $ ?