Calcul de somme infinie
Bonjour,
Question $1$ :
$\lambda$ est de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$ donc $\lambda$ est bornée par un réel $M$.
$u$ tend vers $+\infty$ donc il existe un rang à partir duquel $u_n>0$
Ainsi $ \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt \leq M \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(u_n t) dt= M \dfrac{1- \cos( \pi u_n)}{u_n} \longrightarrow 0$
Mais ne connaissant pas le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale je bloque pour la minoration.
Question $1$ :
$\lambda$ est de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$ donc $\lambda$ est bornée par un réel $M$.
$u$ tend vers $+\infty$ donc il existe un rang à partir duquel $u_n>0$
Ainsi $ \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt \leq M \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin(u_n t) dt= M \dfrac{1- \cos( \pi u_n)}{u_n} \longrightarrow 0$
Mais ne connaissant pas le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale je bloque pour la minoration.
Réponses
-
Aucun espoir de conclure en procédant comme ça. Ce que tu écris est faux parce que tu oublies une valeur absolue dans le passage de la première expression à la seconde et tu oublies la deuxième dans le passage de la deuxième à la troisième.
Plus précisément, tu calcules une primitives de $|\sin u_nt|$ comme s'il n'y avait pas de valeur absolue. Certes le sinus est positif sur $[0,\pi]$ mais là, ce n'est pas le sinus de $t$ mais de $u_nt$, et ce sinus là change de signe tous les $k\pi/u_n$ ($0\le k\le \lfloor u_n\rfloor$). -
Tu ne te sers pas des hypothèses sur $\lambda$, tu utilises simplement qu'elle est bornée...
-
J'ai retiré toutes mes valeurs absolues car sinon rien ne marche.
J'ai oublié d'en enlever une qui traînait. Ma deuxième idée était de raisonner sans les valeurs absolues.
Mais je suis d'accord avec ta remarque j'allais faire cette erreur au départ. -
Et visiblement tu n'as pas fait le lien avec l'exercice qui t'avait été donné ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2202476
-
L'hypothèse de classe C1 me fait penser à une IPP. Je vais tenter cette méthode.
-
Poirot si mais vu que l'exercice est différent, je ne pensais pas réutiliser le résultat de l'autre exo.
Par IPP :
$I_n=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt=\displaystyle\int_{0}^{\pi} u v'$
On a $u(t)=\lambda(t)$ de classe $C^1$ et $v(t)=\dfrac{- \cos(u_n t)}{u_n}$ aussi sur $[0,\pi]$.
Donc $I_n= -\lambda (\pi) \dfrac{cos(u_n \pi )}{u_n} +\dfrac{\lambda(0)}{u_n} + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda'(t) \dfrac{ \cos(u_n t)}{u_n} dt$
Or $\lambda$ est continue et $\lambda'$ aussi donc il existe $M,M' \in \R$ tel que $|f| \leq M$ et $|f'| \leq M'$.
Ainsi $|I_n| \leq \dfrac{ | \lambda(0) - \lambda(\pi) \cos(u_n \pi)|}{u_n} + M' \dfrac{ \pi}{u_n}$.
Par caractérisation séquentielle de la limité, on a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{ | \lambda(0) - \lambda(\pi) \cos(u_n \pi)|}{u_n} + M' \dfrac{ \pi}{u_n}=0$
Et donc $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} \lambda(t) \sin (u_n t) dt=0}$ -
Rien n'est quantifié, tu divises par $u_n$ sans t'assurer que ce soit non nul, ton $M$ ne sert à rien, il y a des $f$ au lieu de $\lambda$, ce n'est pas la caractérisation séquentielle de la limite qui est utilisée. Franchement c'est assez exaspérant là.
-
Au début dans mon premier message j'ai pris n assez grand de sorte que la suite u ne s'annule pas.
Ok pour les autres coquilles.
Oui c'est par composition des limites. -
Remarque sur la forme de l’énoncé :
On lit $[0;1]$ au lieu de $[0;\pi]$ et la suite $u$ n’est pas nommée dans la consigne « 1. ». -
Ce n'est pas non plus la composition des limites. Si tu ne sais même pas donner de noms aux théorèmes de base, ça ne m'étonne pas que tu ne retiennes pas grand-chose.
-
Je pense qu'il veut dire que comme $u_n \xrightarrow[n +\to \infty]{} + \infty$ et que $\frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, on en déduit $\frac{1}{u_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.. Après il a tendance à utiliser des termes un peu pompeux et sophistiqués un peu inutilement. Du coup, il justifie des choses plutôt évidentes et passe sous silence des choses plus délicates assez souvent. Et franchement, autant de coquilles à chaque post, c'est lassant, raison pour laquelle je ne lui fais absolument pas confiance, même devant des élèves de collège. Ils doivent recopier des énormités qu'ils ne verront pas et/ou ne contesteront jamais parce que "le prof a toujours raison".
-
C'est le cours sur les suites numériques en fait.
Question $2$ :
2IPP successives fournissent le résultat.
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t) \cos(nt) dt=\dfrac{1}{n} \displaystyle\int_{0}^{\pi} (\dfrac{t}{\pi}-1) \sin(nt) dt=\boxed{\dfrac{1}{n^2}}$
Question $3$ :
Je ne trouve pas mon erreur. Ma formule ne ressemble pas à celle à démontrer :-S
Soit $t \notin 2 \pi \Z$. On a $\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt)=Re(\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{ikt})$
Or $\displaystyle\sum_{k=1}^n e^{ikt}= \dfrac{e^{it}-e^{it(n+1)}}{1-e^{it}}=\dfrac{e^{i (n+2)t /2} (e^{-i nt /2}-e^{int /2})}{e^{it/2} (e^{-it/2}-e^{it/2})}=e^{i(n+1)t /2} \dfrac{-2i \sin(nt/2)}{-2i \sin (t/2)}$ -
Ben fais les calculs pour le savoir. Là, comme ça, c'est difficile à dire évidemment.
Le résultat est une différence de sinus et il y a des formules pour ça. On peut t'excuser de pas les connaître mais pas de ne pas savoir qu'elles existent (et de ne pas savoir les démontrer). -
Pense à transformer $\sin a \cos b$ en somme.
Sinon je crois que l'écriture $\sum_{k=1}^n e^{ikt}= \sum_{k=0}^n e^{ikt}-1$ simplifie les calculs. -
Ok je n'avais pas pensé à transformer la formule de l'énoncé et je cherchais à tomber pile dessus.
Je trouve $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n \cos (kt)=\dfrac{ \cos ( (n+1)t /2) \sin (nt/2)}{\sin (t/2)}}$
En utilisant $\sin(a)-\sin(b)=2 \sin (a-b)/2 \cos(a+b)/2$ on retrouve le même résultat que l'énoncé.
Je n'arrive pas à faire Q4. J'ai essayé d'écrire $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t) \displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt) dt$
Mais je ne peux pas utiliser la question $3$ car $\sin(t/2)$ n'est pas défini en $0$ et la fonction $t \mapsto \dfrac{1}{2 \sin (t/2)}$ n'est pas de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. -
A quoi ressemblerait ta fonction $\lambda$ ailleurs qu'en 0?
Édit : tu oublies de multiplier par $f(t)$. -
D'accord merci. J'ai en effet oublié le $f(t)$.
Je pose $\lambda(t)=\dfrac{f(t)}{\sin(t/2)}$. Or au voisinage de $0$ on a $\lambda(t) \sim \dfrac{-t+ t^2 / 2 \pi}{t/2} \sim -1+ t/ \pi $ donc $\lambda$ est continue en $0$.
Je pose $u_n=\dfrac{2n+1}{2} \longrightarrow + \infty$. Les hypothèses de la question $1$ sont vérifiées.
Il reste donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} =-\dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(t) dt=-\dfrac{1}{2} (-\dfrac{\pi ^2}{2}+\dfrac{\pi^3}{6 \pi})=\dfrac{1}{2} (\dfrac{\pi ^2}{2}-\dfrac{\pi^2}{6 })=\dfrac{1}{2} \dfrac{2 \pi ^2}{6}$
Finalement $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}= \dfrac{\pi ^2}{6}}$
Ouf :-o -
$\lambda$ est de classe $C^1$ ! Et toujours des erreurs dans tes calculs.
-
Des erreurs ? Pourtant je trouve la valeur demandée par l'énoncé $\pi ^2/6$
$\lambda'(t)=\dfrac{ f'(t) \sin(t/2) + (f(t) \cos(t/2))/2}{\sin^2(t/2)}$
Le numérateur vaut $(-1+\dfrac{t}{\pi}) \sin(t/2)+\dfrac{1}{2} (\dfrac{t^2}{2 \pi}-t) \cos(t/2) \sim (-1+\dfrac{t}{\pi}) \sin(t/2) \sim - \sin(t/2) $
Donc $\lambda'(t) \sim \dfrac{- \sin(t/2)}{t^2 /4} \sim \dfrac{-2}{t} $ c'est étrange ce résultat :-S $\lambda '$ ne semble pas prolongeable par continuité en $0$... -
99% de chance que tu te sois trompé dans le calcul de la dérivée mais comme c'est plus lent de tout recopier en latex plutôt que de vérifier tes calculs...
Et l'équivalent que tu as écrit... mon dieu
Après comme tu "excelles en calcul" on doit être dans les 1% et l’énoncé est sûrement faux... -
Peut être que je ne sais pas déterminer un équivalent, ce qui est étonnant vu que je les manipule souvent.
La dérivée vaut $\lambda'(t)=\dfrac{(\tfrac{t}{\pi}-1) \sin (t/2) -\tfrac{1}{2}(\tfrac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2)}{\sin^2 (t/2)}$
Or $\lim\limits_{t \rightarrow 0} -\frac{1}{2}(\frac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2)=0$ donc le numérateur est équivalent à $(\frac{t}{\pi}-1) \sin (t/2) \sim (\frac{t}{\pi}-1) \frac{t}{2} \sim -t/2$ et donc ça ne va pas fonctionner :-(
Je ne trouve pas l'erreur. -
Rappel : il est INTERDIT d'ajouter des équivalents sans justification.
-
Rakam ok merci.
Je ne sais pas calculer la limite de $\lambda'$. -
Tu dis $\lim_{t \to 0} f(t)=0$ donc $f(t)+g(t) \sim g(t)$ mais $g(t)$ aussi tend vers 0 !! Le but, c'est de trouver lequel de $f$ et de $g$ l'emporte en prenant le plus de place, ie lequel tend le moins vite vers 0. Bref, non, tu n'as toujours rien compris aux DL et équivalents. Et sinon, pour moi, ton $\lambda$ est faux. Il faut assimiler $\lambda(t)\sin(u_n t)$ à $f(t) \frac{\cos((n+1)t/2)\sin(nt/2)}{\sin(t/2)}$... C'est presque un exo de primaire où on demanderais à un enfant de colorier de la même couleur les "morceaux pareils"...
-
Alexique j'ai utilisé l'expression de la somme du cos donnée par l'énoncé et pas la mienne...
Je sais faire des DL mais la ça me semblait compliqué après je peux essayer -
Compliqué un DL de $\sin(t/2)$ et $\cos(t/2)$ en 0 ?
-
Ce qui me gêne c'est le dénominateur. Je n'aurai pas de forme 1/1-u.
Le numérateur je sais faire le DL. -
Fais le calcul et simplifie ce que tu peux enfin !
-
Tu sais faire un DL du numérateur (qu'on a pas vu pour le moment mais bref) mais pas de la fraction ? Donc tu ne sais pas faire un DL en toute généralité ? Je ne peux que te suggérer de revoir un cours de DL et des exemples alors...
-
Les calculs sont affreux.
$\lambda'(t)=\dfrac{(\tfrac{t}{\pi}-1) \sin (t/2) -\tfrac{1}{2}(\tfrac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2)}{\sin^2 (t/2)}=\dfrac{N}{D}$
On a $\sin(t/2)=t/2-t^3 /24 + o(t^3)$ et $\cos(t/2)=1-t^2 /4 + o(t^2)$
Donc $(\tfrac{t}{\pi}-1) \sin (t/2)=t^2/(2 \pi) -t^4 / (12 \pi) -t/2+t^3 /12 + o(t^3)= \boxed{ -t/2 +t^2/(2 \pi)+t^3 /48 + o(t^3)}$
Et $\tfrac{1}{2} (\tfrac{t^2}{2\pi}-t) \cos (t/2) =\tfrac{1}{2} (\tfrac{t^2}{2\pi}-t + t^3/4+o(t^3))= \boxed{ \tfrac{t^2}{4\pi}-t/2 + t^3/16+o(t^3)}$
Donc $\boxed{N= \frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24}+o(t^3)}$
A présent $D=(t/2-t^3 /12 + o(t^3))(t/2-t^3 /12 + o(t^3))= \boxed{ t^2 /4 +o(t^3) }$
Donc $\lambda'(t)=\dfrac{1}{1+o(t)} ( \frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24}+o(t^3) ) =o(t^3)$
Or $\dfrac{1}{1-o(t)}=1 +o(t)+o(t)^2+o(t)^3+ o(t^3)=1+o(t)$ car $o(t^3)=o(t)$ et $o(t^2)=o(t)$
Donc $\lambda'(t)= (1+o(t) ) (\frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24}+o(t^3))=\frac{t^2}{2 \pi} -\frac{t^3}{24} +o(t^3) $
On a montré $\boxed{\lambda'(t)=\dfrac{t^2}{2 \pi} -\dfrac{t^3}{24} +o(t^3) }$
Donc $\boxed{\lim\limits_{t \rightarrow 0} \lambda'(t)=0}$ -
PS : tu n'avais pas besoin de calculer un DL du dénominateur, un équivalent suffisait mais bon au moins ça te fait calculer.
PS2 : Ton calcul est faux mais vu que tu n'as pas encore compris en 3 ans que tu prépares tes concours que les calculateurs en ligne existent pour vérifier les calculs tu vas continuer à nous faire corriger tes erreurs. Tu préfères perdre ton temps à tout écrire en Latex... drôle de choix !
Tu préfères te faire prendre 50 remarques sur le forum sur ton incompétence alors que vérifier tes calculs ça
1) te rendrait plus autonome
2) te ferait perdre moins de temps
3) te ferait passer pour quelqu'un de moins incompétent qu'aujourd'hui
À un moment le forum veut bien t'aider à trouver tes erreurs de raisonnement mais tes erreurs d'algèbre niveau 4e tu peux les vérifier tout seul non ? -
Ok merci.
J'ai des très petites erreurs, le logiciel de calcul donne $N=\dfrac{t^2}{4 \pi}-\dfrac{t^3}{24}+O(t^4)$. J'étais très proche.
Pourquoi il donne un $O(x^4)$ alors que je demande un DL à l'ordre $3$ ?
Le DL du dénominateur j'ai bon.
On a $D \sim \dfrac{t^2}{4}$. Je ne comprends pas pourquoi un équivalent du dénominateur suffit.
Le calcul du DL du quotient je n'ai pas trop compris. Il ne ressemble pas à ceux donnés dans mon livre où il apparait à chaque fois des $1/1-u$.
C'est là où je coince alors que j'ai quasiment tout juste aux DL du numérateur et dénominateur. -
Bonjour
Pourquoi il donne $O(x^4)$ ? Que penses-tu de $O(x^4)$ et de $o(x^3)$? N'y a-t-il pas un lien ? -
Tu n'as pas à développer le quotient enfin ! Le dénominateur est équivalent à $\frac{t^2}{4}$ alors que le numérateur est équivalent à $\frac{t^2}{4 \pi}$ avec ton DL, puis c'est fini.
-
Montrons que $O(x^4)=o(x^3)$
$O(x^4)=u x^4$ avec $u$ bornée. Donc $\dfrac{O(x^4)}{x^3}= ux \longrightarrow 0$ -
Ok merci Poirot.
$N=\dfrac{t^2}{4 \pi}-\dfrac{t^3}{24}+o(t^3)$.
Or $\dfrac{t^3}{24}+o(t^3)=o(t^2)$ (Je n'avais pas pensé à faire ça.)
Donc $\lambda'(t) \sim \dfrac{t^2}{4 \pi} \times \dfrac{4}{t^2} \sim \dfrac{1}{\pi}$ -
Tu n'as surtout pas réfléchi à ce que tu voulais faire. Tu voulais une limite de $\lambda'$ et clairement le dénominateur est équivalent à un terme d'ordre 2 donc au numérateur, on a besoin d'un degré 2 au MAXIMUM !!! Comme tu ne sais pas ce que tu fais, tu fais large un peu au pif avec des degrés 3 et ça part en usine à gaz... Toujours pareil, cours pas travaillé, exemples pas maîtrisés,...
Tiens, dans ce DS, c'est juste l'exo de base d'application directe du cours. En gros, on vérifie que tu as compris ton cours, ton DM et tes colles sur ce petit exo de routine. Si celui là est déjà mal fait, le reste du DS est très compromis à mon goût.
Tu peux toujours nous proposer une rédaction simplifiée des calculs mais je vais pas te supplier non plus. -
Même remarque qu'Alexique : c'est quand même la base d'observer que le dénominateur est équivalent à $t^2/4$ et donc qu'il suffit de développer le numérateur à l'ordre $2$ pour obtenir la limite (on ne te demande pas un DL de $\lambda'$ !).
-
Je sais faire des DL simples mais je n'ai pas de recul sur le sujet.
Cette question nécessitait une bonne maitrise et un recul sur les DL et des équivalents.
Alexique je pense que je sais faire les questions 1-2-3 du DS. C'est du calcul "chiant" mais je vois l'idée. Après c'est facile de se tromper dans les calculs. Donc pas simple. -
Ni été lauréat d'un concours de mathématiques de niveau M1. :-(
-
bonsoir, je doute que l'étudiant lambda actuel en maths maitrise les calculs de DL en première année hormis les meilleurs...A demon wind propelled me east of the sun
-
Je trouve que les DL c'est une notion difficile.
-
A une certaine époque c'était utile; par ailleurs les calculatrices du type ti89 et au-dessus sont capables de les donner sans oublier les systèmes de calcul formel en ligne (genre wolfram alpha) de sorte qu'il est possible de vérifier son résultat; c'est un outil local d'une indéniable puissance et à mon sens structurant mais il faut s'astreindre à un peu de calcul numérique.A demon wind propelled me east of the sun
-
Ta démo de l'égalité $o(x^3)=O(x^4)$ est surprenante (et je suis gentil) ! (je suppose qu'il s'agit d'un voisinage de 0 pour $x$ ?
Si $f(x)=x^3\sqrt x$, a-t-on $f(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad} o(x^3) $ ? A-t-on $f(x) \underset{x \to0 }{\quad=\quad} O(x^4) $ ? -
En fait, il vaut mieux éviter les notations de Landau quand on le peut ; leur compréhension n'est pas évidente et elles manquent de précision. De même, la notion d'équivalent est délicate et il vaut mieux écrire $f(x) = g(x)\left( 1 + \epsilon (x) \right) $ avec $\lim_{x_0} \epsilon (x) = 0$ plutôt que $f(x) \sim _{x_0} g(x) $ quand on n'est pas trop sûr de soi.A demon wind propelled me east of the sun
-
ainsi $O(f)$ en $x_0$ désigne un ensemble de fonctions vérifiant une condition locale par rapport à $f$ et l'écriture $g(x) = O(f(x))$ est un abus de notation dont il faut se méfier. Il est correct mais peu pratique d'écrire $g \in O(f) $.A demon wind propelled me east of the sun
-
Je ne vois pas en quoi les notations de Landau manquent de précision. Qu'il y ait des subtilités qui peuvent échapper à certains je peux le concevoir, mais on ne peut pas dire qu'elles manquent de précision.
-
bonsoir, au minimum quand on a besoin de majorants (minorants) indépendants d'une variable et que ce n'est pas précisé plus que cela. Mais l'idée générale est bien dans la constatation qu'elles ne sont pas faites pour tout le monde.A demon wind propelled me east of the sun
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 30
+23 Invités