Concours général maths 2021
Réponses
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La 5b dit que $\forall x \in E_0$ on a $]-\infty,x] \in E_0$ je ne vois pas en quoi ça montre que $E_0$ est majoré.
Idem pour la 8b on a juste $]-\infty,\delta[ \in E_0$.
J'ai pensé à ces questions mais je ne vois pas le lien avec $E_0$ majoré. -
Relis mieux la question 8b)...
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D'accord. On a $]\delta,+\infty[$ qui est dans $E_{\infty}$, il n'est donc pas dans $E_0$.
Ainsi $E_0 \subset ]-\infty,\delta]$. Donc $E_0$ est majoré par $\delta$.
La suite $(c_l)_{l \geq 2}$ est croissante et majorée, elle converge.
Plus qu'une question ! -
Ok. Avec le 5b), on pouvait dire que $E_0$ n'est pas majoré, alors on a l'existence d'une suite $(x_n) \subset E_0$ avec $\lim_{n\to\infty} x_n = +\infty$ et telle $]-\infty,x_n] \subset E_0$ par 5b) pour tout $n$. Mais alors $\mathbb{R}=\bigcup_n ]-\infty,x_n] \subset E_0$ donc $\mathbb{R}= E_0$ ce qui est absurde.
Mais j'avoue que c'est un peu plus simple avec la 8), surtout du point de vue d'un lycéen. -
On peut simplifier ton argument, Alexique, en utilisant 6.c en plus de 5.b.
S'il existait une valeur $x>1$ telle que $x\in E_0$ alors $1$ appartiendrait à $E_0$ par 5.b.
Mais par 6.c, $1\in E_{\infty}$ donc $1\notin E_0$.
Par contraposée, on en déduit que $E_0$ est majoré par $1$. -
D'accord merci.
Je ne trouve pas la question $11$. Je ne vois pas le rapport avec la suite $(c_l)$... -
Il n'y a pas besoin d'utiliser cette suite.
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Ah d'accord j'ai beau chercher je ne trouve pas l'idée pour montrer que $\sigma \in E_{\infty}$.
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Je raisonne par l'absurde et j'utilise la question 2.
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Supposons que $\delta \notin E_{\infty}$. Alors $\delta \in E_0$.
Ca me semble impossible d'utiliser la question $2$. La contraposée c'est : "si $u$ ne converge pas vers $0$". Ici on suppose que $u$ converge vers $0$. -
Je n'utilise pas directement la question 2, il y a un ingrédient en plus. Plus précisément je montre que si $\delta\in E_0$ alors il existe $\delta'>\delta$ tel que $\delta'\in E_0$.
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C'est dur d'avancer à chaque fois, j'ai l'impression d'avoir peu d'information.
Si $\delta \in E_0$ alors $]-\infty,\delta] \in E_0$. Je ne trouve pas comment introduire de $\delta' > \delta$. -
J'utilise le fait que pour tout $n$, la fonction $t\mapsto u_n(t)$ est continue...
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Merci JLT il faut y penser à tout ça ::o Question difficile.
Du mal avec cette fonction $t \mapsto u_n(t)$ vu qu'on a pas son expression. Pourquoi est-elle continue ?
Pour la suite, je pense avoir trouvé avec ton indication, sauf erreur.
La fonction $t \mapsto u_n(t)$ est continue en $\delta$. Pour tout $n \in \N$, prenons : $\varepsilon = \dfrac{1}{n+1} >0$.
Il existe un $\eta >0$ tel que $\forall t \in \R \ |t-\delta| \leq \eta \implies | u_n(t)-u_n(\delta)| \leq \dfrac{1}{n+1}$
Pour ce $\eta$, on a en particulier : $|u_n(\delta+\eta)-u_n(\delta)| \leq \dfrac{1}{n+1}$
Comme $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta)=0$ par continuité alors, par passage à la limite on a :
$-\dfrac{1}{n+1} \leq \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta+\eta) \leq \dfrac{1}{n+1}$
On en déduit $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta+\eta) =0 \Leftrightarrow \delta'=\delta+\eta > \delta \in E_0}$
Mais d'après la question 8b c'est impossible car $]\delta,+\infty[ \in E_{\infty}$
Donc c'est absurde et $\boxed{\delta \in E_{\infty}}$ -
La composée de fonctions continues est continue. Programme de terminale.
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Quelles sont les 2 fonctions ?
$(u_n) $ est une suite. -
$t\mapsto u_n(t)$ est la composée de $n$ fonctions continues.
D'autre part ta solution est complètement fausse. Le problème est que $\varepsilon$ dépend de $n$. -
OShine, pourquoi tu ne calcules pas les premiers termes de la suite pour commencer ?
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Calculer les premiers termes alors qu'on ne connaît pas delta ?
Ok pour la composée.
JLT je ne comprends pas en quoi c'est un problème que epsilon dépende de n ?
Dans une démonstration sur le chapitre intégration je vois l'auteur prendre epsilon/(n+1) je m'en suis inspiré. -
Si $\varepsilon$ dépend de $n$ alors $\eta$ aussi, donc quand tu vas passer à la limite la somme $\delta+\eta_n$ tu risques de tomber sur $\delta$ et non sur un nombre $\delta'>\delta$.
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De toute évidence, quand on voit ça, tu n'as pas compris grand chose aux limites.OS a écrit:par passage à la limite on a : $-\dfrac{1}{n+1} \leq \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta+\eta) \leq \dfrac{1}{n+1}$
Idem.OS a écrit:Comme $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta)=0$ par continuité
Maintenant, je trouve pas cette question si facile mais ça ne t'excuse pas d'écrire des horreurs, surtout quand on te fournit les idées que tu n'as pas. -
C'est une coquille Alexique la limite est comprise entre 0 et 0.
JLT d'accord merci. En effet quand n tend vers plus l'infini, epsilon est de plus en plus petit et donc eta aussi.
Je vais essayer de raisonner autrement. -
Ce question est de niveau maths sup. Trop dur pour des lycéens. Voici ma nouvelle rédaction, est-ce mieux ?
La fonction $t \mapsto u_n(t)$ est continue en $\delta$. Soit $\varepsilon >0$.
Il existe un $\eta >0$ tel que $\forall t \in \R \ |t-\delta| \leq \eta \implies |u_n(t)-u_n(\delta)| \leq \varepsilon$
Pour ce $\eta$, on a en particulier : $|u_n(\delta+\eta)-u_n(\delta)| \leq \varepsilon$
Comme $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta)=0$ par hypothèse, il existe un rang $N \in \N$ tel que $n \geq N \implies |u_n(\delta)| \leq \varepsilon$
Donc $n \geq N \implies -2 \varepsilon \leq - \varepsilon + u_n(\delta) \leq u_n(\delta+\eta) \leq \varepsilon +u_n(\delta) \leq 2 \varepsilon$
Soit $n \geq N \ \implies |u_n(\delta+\eta)| \leq 2 \varepsilon$
On en déduit $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n(\delta+\eta) =0 \Leftrightarrow \delta'=\delta+\eta > \delta \in E_0}$
Mais d'après la question 8b c'est impossible car $]\delta,+\infty[ \in E_{\infty}$
Donc c'est absurde et $\boxed{\delta \in E_{\infty}}$ -
Non c'est toujours pas bon. Tu fais des erreurs parce que tes variables ne sont pas correctement quantifiées. Pour voir où ça cloche, écris $\eta_n$ à la place de $\eta$.
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J'utilise pourtant les même quantificateurs que dans le cours sur les limites et la continuité.
Je ne sais pas faire la question, je crois que le fait que ce soit une suite de fonction m'embrouille complètement. -
Voici donc ma solution.
Supposons par l'absurde que $\delta\notin E_\infty$. D'après la question 3), $\delta\in E_0$ donc il existe un entier $n\geqslant 2$ tel que $u_{n}(\delta)<\frac{1}{2}$. Dans toute la suite, on fixe un tel entier $n$.
Comme $t\mapsto u_n(t)$ est continue, il existe $\eta>0$ tel que pour tout $t\in [\delta-\eta,\delta+\eta]$ on ait $|u_n(t)-u_n(\delta)|<\frac{1}{2}$. En particulier, $u_n(\delta+\eta)<1$. D'après la question 2), $\delta+\eta\in E_0$, ce qui contredit la question 8b). -
D'accord merci très clair comme solution, j'avais l'idée de prendre $u_n(\delta+\eta)$ mais ensuite je me suis mélangé les pinceaux.
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Le problème c'est surtout que tu n'as pas fixé un $n$, ni utilisé la question 2 qui était cruciale.
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Oui je suis me suis concentré sur les quantificateurs et la définition de la continuité et j'en ai oublié la question $2$ :-o
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Autre réponse possible pour la dernière question:
On note $c$ la limite de $(c_{\ell})_{\ell}$.
i) On montre tout d'abord que $c\in E_{\infty}$.
$(c_{\ell})_{\ell}$ étant croissante de limite $c$, on en déduit, par croissance sur $\R$ de $x\mapsto u_{\ell}(x)$ pour tout $\ell\geqslant 2$:
$$\forall \ell\geqslant 2,~u_{\ell}\left(c_{\ell+1}\right)\leqslant u_{\ell}(c).
$$ Or, (d'après des calculs normalement effectués en 9)), pour tout $\ell\geqslant 2$, $u_{\ell}\left(c_{\ell+1}\right) = \ln(\ell+1)$
Ainsi, $$\forall \ell\geqslant 2,~\ln(\ell+1)\leqslant u_{\ell}(c).
$$ On en déduit par comparaison que $(u_{\ell}(c))_{\ell\geqslant 2}$ diverge vers $+\infty$ et donc que $c\in E_{\infty}$.
ii) On montre ensuite que: $c\leqslant \delta$.
Pour ce faire, on montre, en raisonnant par l'absurde, que, pour tout $\ell\geqslant 2$, $c_{\ell}\leqslant b_{\ell}$, puis l'on conclut par prolongement des inégalités à la limite.
iii) On conclut à l'aide de (i), (ii) et de 7).
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