Homéomorphisme du segment unité
dans Analyse
Bonjour
Je voudrais savoir si le segment $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue est homéomorphe à $[0,1]\times [0,1]$ avec la mesure de Lebesgue aussi
Merci d’avance
Je voudrais savoir si le segment $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue est homéomorphe à $[0,1]\times [0,1]$ avec la mesure de Lebesgue aussi
Merci d’avance
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Réponses
Donner la topologie (si ce n'est pas celle usuelle) serait plus utile.
C’est avec cette topologie qu’on obtient la mesure de Lebesgue il me semble.
Il est possible de retomber sur la même mesure par une autre topologie?
Le disque unité est homomorphe au segment $[0,1] $ , donc
J’ai oublié le nom de la construction (Serpent de ... je crois voir le post suivant), mais je pense qu’un autre intervenant devrait s’en souvenir.
Ici on en parle : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1140201,1140659
Merci d’avance
si on se restreint au Cantor triadique $K=\{\sum_k a_k/3^k\mid a_k\in \{0,2\}\}$, la technique du croisement des décimales donne bien un homéomorphisme $K\rightarrow K\times K$. Il y a de plus une surjection continue naturelle $K\rightarrow [0,1]$, à savoir $ \sum_k a_k/3^k\mapsto \sum_k a_k/2^k$. En combinant on peut donc construire une surjection continue $f: K\rightarrow [0,1]^2$, et on peut prolonger ensuite $f$ en une surjection continue $[0,1]\rightarrow [0,1]^2$ en faisant des raccords affines.