Homéomorphisme du segment unité

superpower
superpower
dans Analyse
Bonjour
Je voudrais savoir si le segment $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue est homéomorphe à $[0,1]\times [0,1]$ avec la mesure de Lebesgue aussi
Merci d’avance

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    C'est quoi ta définition d'homéomorphe ? Parce que celle que je connais ne dépend d'aucune mesure.

    Donner la topologie (si ce n'est pas celle usuelle) serait plus utile.
  • superpower
    superpower
    Avec la topologie usuelle

    C’est avec cette topologie qu’on obtient la mesure de Lebesgue il me semble.

    Il est possible de retomber sur la même mesure par une autre topologie?
  • MrJ
    MrJ
    Que se passe-t-il topologiquement si tu retires un point dans $[0, 1]$? Un point dans $[0,1]^2$?
  • gebrane
    gebrane
    Un classique, Le disque unité est homéomorphe au carré $[0,1]\times [0,1]$
    Le disque unité est homomorphe au segment $[0,1] $ , donc
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : le disque unité n'est pas homéomorphe à $[0, 1]$, comme le montre l'argument donné par MrJ.
  • gebrane
    gebrane
    Merci Poirot, je n'ai pas vu le message de MRJ, je vieillis ( ma mémoire) en étant jeune comme a dit gerard
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    Par contre, aussi surprenant que cela puisse paraître, il existe une application continue surjective de $[0,1]$ dans $[0,1]^2$.

    J’ai oublié le nom de la construction (Serpent de ... je crois voir le post suivant), mais je pense qu’un autre intervenant devrait s’en souvenir.
  • Namiswan
    Namiswan
    courbe de Peano pour moi. Ca a peut être d'autres noms
  • MrJ
    MrJ
    @Namiswan : Merci! C’est bien ça!
  • Dom
    Dom
    De mémoire on effectue un croisement des décimales des nombres...

    Ici on en parle : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1140201,1140659
  • MrJ
    MrJ
    @Dom : je ne suis pas sûr que l’application décrite dans le lien soit continue (mais c’est peut-être le cas, je n’ai pas étudié de près).
  • Dom
    Dom
    Pardon, en effet j’ai posté trop vite.
  • superpower
    superpower
    Et savez vous si $L^2([0,1])$ est isomorphe à $L^2([0,1])^2$ ?
    Merci d’avance
  • superpower
    superpower
    Pardon c’est trivial
  • Namiswan
    Namiswan
    Par rapport à ce que dit Dom:

    si on se restreint au Cantor triadique $K=\{\sum_k a_k/3^k\mid a_k\in \{0,2\}\}$, la technique du croisement des décimales donne bien un homéomorphisme $K\rightarrow K\times K$. Il y a de plus une surjection continue naturelle $K\rightarrow [0,1]$, à savoir $ \sum_k a_k/3^k\mapsto \sum_k a_k/2^k$. En combinant on peut donc construire une surjection continue $f: K\rightarrow [0,1]^2$, et on peut prolonger ensuite $f$ en une surjection continue $[0,1]\rightarrow [0,1]^2$ en faisant des raccords affines.
  • superpower
    superpower
    Est cela même topologie Namiswan?
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