Homéomorphisme du segment unité
dans Analyse
Bonjour
Je voudrais savoir si le segment $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue est homéomorphe à $[0,1]\times [0,1]$ avec la mesure de Lebesgue aussi
Merci d’avance
Je voudrais savoir si le segment $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue est homéomorphe à $[0,1]\times [0,1]$ avec la mesure de Lebesgue aussi
Merci d’avance
Réponses
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C'est quoi ta définition d'homéomorphe ? Parce que celle que je connais ne dépend d'aucune mesure.
Donner la topologie (si ce n'est pas celle usuelle) serait plus utile. -
Avec la topologie usuelle
C’est avec cette topologie qu’on obtient la mesure de Lebesgue il me semble.
Il est possible de retomber sur la même mesure par une autre topologie? -
Que se passe-t-il topologiquement si tu retires un point dans $[0, 1]$? Un point dans $[0,1]^2$?
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Un classique, Le disque unité est homéomorphe au carré $[0,1]\times [0,1]$
Le disque unité est homomorphe au segment $[0,1] $ , doncLe 😄 Farceur -
Merci Poirot, je n'ai pas vu le message de MRJ, je vieillis ( ma mémoire) en étant jeune comme a dit gerardLe 😄 Farceur
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Par contre, aussi surprenant que cela puisse paraître, il existe une application continue surjective de $[0,1]$ dans $[0,1]^2$.
J’ai oublié le nom de la construction (Serpent de ... je crois voir le post suivant), mais je pense qu’un autre intervenant devrait s’en souvenir. -
courbe de Peano pour moi. Ca a peut être d'autres noms
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De mémoire on effectue un croisement des décimales des nombres...
Ici on en parle : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1140201,1140659 -
Pardon, en effet j’ai posté trop vite.
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Et savez vous si $L^2([0,1])$ est isomorphe à $L^2([0,1])^2$ ?
Merci d’avance -
Pardon c’est trivial
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Par rapport à ce que dit Dom:
si on se restreint au Cantor triadique $K=\{\sum_k a_k/3^k\mid a_k\in \{0,2\}\}$, la technique du croisement des décimales donne bien un homéomorphisme $K\rightarrow K\times K$. Il y a de plus une surjection continue naturelle $K\rightarrow [0,1]$, à savoir $ \sum_k a_k/3^k\mapsto \sum_k a_k/2^k$. En combinant on peut donc construire une surjection continue $f: K\rightarrow [0,1]^2$, et on peut prolonger ensuite $f$ en une surjection continue $[0,1]\rightarrow [0,1]^2$ en faisant des raccords affines. -
Est cela même topologie Namiswan?
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Bonjour!
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