Équivalent simple
Bonjour
Déterminer un équivalent simple de $\dbinom{n}{2} \arctan \Big(\dfrac{ \ln n+1}{\sqrt{n}} - \dfrac{ \ln n}{\sqrt{n+1}} \Big)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On a $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n!}{ 2 (n-2) !} = \dfrac{n(n-1)}{2} \boxed{\sim \dfrac{n^2}{2}} .$
La partie de droite je bloque.
Déterminer un équivalent simple de $\dbinom{n}{2} \arctan \Big(\dfrac{ \ln n+1}{\sqrt{n}} - \dfrac{ \ln n}{\sqrt{n+1}} \Big)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On a $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n!}{ 2 (n-2) !} = \dfrac{n(n-1)}{2} \boxed{\sim \dfrac{n^2}{2}} .$
La partie de droite je bloque.
Réponses
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Je pense que tu as oublié des parenthèses et qu'il s'agit de $\displaystyle\frac{\log(n+1)}{\sqrt n}-\frac{\log n}{\sqrt{n+1}}$
Si c'est le cas, écrire $\log(n+1)=\log n+\log(1+1/n)$ et $\sqrt{n+1}=\sqrt n\sqrt{1+1/n}$ et faire des développements limités en faisant attention à écrire les ordres correctement avant de faire la différence. -
On factorise par le terme dominant, c'est la méthode de base pour faire des développements asymptotiques.
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Ok merci. Je vois l'idée.
J'arrive à $\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big(1+ \ln(1+1/n)-\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} \Big)$
Je vais essayer de finir. -
Je trouve :
$\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big(1+ \ln(1+1/n)-\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} \Big)=\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big( \dfrac{3}{2n}- \dfrac{7}{8n^2} +o(\dfrac{1}{n^2} \Big) $
Donc $\boxed{\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big(1+ \ln(1+1/n)-\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} \Big)=\dfrac{3 \ln (n)}{2n^{3/2}}-\dfrac{7 \ln(n)}{8 n^{5/2}}+o(\dfrac{ \ln (n)}{n^{5/2}})}$
Je ne vois pas comment en déduire un équivalent de $Arctan$ de tout ça. -
Bah bof.. tu n'as toujours pas compris que comme on veut un ÉQUIVALENT, on a juste besoin d'un DL AVEC 1 SEUL TERME !
Ben quel est le DL de $\arctan$ en 0 ? Comment on fait une composition de DL ? Tout ça, c'est du cours !! On est là pour t'aider quand tu ne sais pas faire un exo, pas pour te faire des rappels de cours, ou pour te dire de lire les exemples d'un cours bien fait. -
Ton "Je vois l'idée" contient une erreur : il n'y a pas de produit de logarithmes ou la mise en facteur de $\log n$ exige un $\log n$ en dénominateur dans le deuxième terme de la parenthèse.
Je t'avais mis en garde : dans le développement de la première fraction l'ordre est une puissance de $n$ pas un produit de $\log n$ avec une puissance de $n$. -
D'accord merci je vais recommencer et faire les 2 DL séparément puis les soustraire.
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Pour une leçon sur les dl' voir primo Wikipedia
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Dans mon livre le cours est bien expliqué sur les DL.
Le souci ici c'est que j'ai voulu absolument factoriser au lieu de faire les 2 DL séparément puis les soustraire. -
Finalement, celà passe le temps: tu dois savoir que $\arctan (u) \sim u $ en zéro; il est de plus clair que la différence de deux suites de limites nulles est de limite nulle; comme $\ln (u) = o( \sqrt{u})$ en $+\infty$, tu peux te passer de l'arctangente et écrire directement que ta suite $u_n$ est équivalente à $ \displaystyle \binom{n}{2} \left( \dfrac{\ln (n+1)}{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln (n)}{\sqrt{n+1}} \right) $.
Ensuite, deux classiques: une correction s'impose ici:
1) $ \ln (n+1) = \ln(n) + \ln( 1+\frac{1}{n}) = \ln (n) $ + $1/n -1/2n^2 + o(1/n^2) $
et:
2) $\dfrac{1}{\sqrt{n+1} }= \dfrac{1}{\sqrt{n}}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \left( 1 - 1/2n - 3/8n^2 + o(1/n^2) \right) $
Tu divises 1) par $\sqrt{n}$ et tu multiplies 2) par $\ln (n)$ et tu soustrais... et à postériori, on peut se passer de l'ordre 2 bien que deux précautions valent toujours mieux qu'une...A demon wind propelled me east of the sun -
Ok merci.
La différence donne $\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} \left( \dfrac{3}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(1/n^2) \right)$
Ce qui implique : $ \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} \left( \dfrac{3}{2n} +o(\dfrac{1}{n}) \right)$ je fais une troncature du DL.
Ainsi l'équivalent recherché est $\dfrac{n(n-1)}{2} \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} \times \dfrac{3}{2n} \sim \dfrac{3n \ln(n)}{2 \sqrt{n}}$
Enfin l'équivalent recherché est $\dfrac{3 \sqrt{n} \ln(n)}{2}$ -
Pas loin mais c'est faux. Et l'ordre 2 est inutile. Tu le calcules pour ensuite l'enlever donc tu fais des efforts inutiles et en concours, tu perdrais du temps.
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Je ne trouve pas l'erreur après 5 relectures.
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2x2 = 4A demon wind propelled me east of the sun
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Je crois qu'on a plutôt :
$$\log(n+1)=\log(n)+\log(1+1/n)\underset{n \to+\infty }{\quad=\quad}\log(n)+\frac1n+o(1/n),
$$ donc
$$\frac{\log(n+1)}{\sqrt n}-\frac{\sqrt{n+1}}{\log n}\underset{n \to +\infty}{\quad\simeq\quad}\frac{\log n}{2n}.
$$ Le produit de $\log$ qui apparaît dans le 1) de gilles benson n'est pas correct.
Désolé d'avoir inversé la deuxième fraction et en plus il y a une erreur, merci bd2017 -
rakam, je ne comprends pas ce que tu fais, pourquoi tu as changé la suite ?
Ajout : Mais pourquoi tout le monde veut utiliser les dl ?, on peut passer par les équivalents uniquement en connaissant les équivalents de référencesLe 😄 Farceur -
\rakam a écrit:
Bonjour
Visiblement c'est faux (même en écrivant correctement le second quotient qui a été inversé). -
C'est très simple sans les Dl.
Supposons que cette question est donnée dans le cours sur les équivalents avant d'introduire les DL ;-)Le 😄 Farceur -
Bonjour.
Comme $\dfrac{\log(n+1)}{\sqrt n}$ tend vers 0 et $\dfrac{\sqrt{n+1}}{\log n}$ vers l'infini (croissances comparées), le premier est négligeable devant le second et $\dfrac{\log(n+1)}{\sqrt n}-\dfrac{\sqrt{n+1}}{\log n} \sim -\dfrac{\sqrt{n+1}}{\log n} \sim -\dfrac{\sqrt{n}}{\log n}$.
Cordialement.
Édit : Merci AD, et merci Gebrane de m'avoir signalé l'oubli d'un signe - dans l'équivalent. -
rakam c'est une simple réduction au même dénominateur
$\dfrac{\ln (n+1)}{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln (n)}{\sqrt{n+1}}=\frac{
(\sqrt{n+1}-\sqrt n)\ln n+\sqrt{n+1}\ln(1+\frac 1n)
}
{\sqrt{n(n+1)}}$Le 😄 Farceur -
gerard0, la question ne demande pas de chercher un équivalent de $\quad \arctan\big(\frac{\log(n+1)}{\sqrt n}-\frac{\sqrt{n+1}}{\log n}\big)$.Le 😄 Farceur
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Bon, taper du latex engendre des erreurs et j'en suis désolé; je me sens donc obligé de finir ce petit calcul:
$$
\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n+1}} \; = \; \dfrac{\ln(n) + 1/n + o(1/n) }{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \big(1 - 1/2n + o(1/n) \big).
$$ Le terme principal est donc $ \dfrac{\ln(n)}{2n\sqrt{n}} $ et le reste s'en déduit.A demon wind propelled me east of the sun -
Je ne trouve pas d'erreur dans mon raisonnement.
Je ne vois pas pourquoi mon équivalent est faux. -
Oshine peux-tu terminer ce raisonnement http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2207184,2207810#msg-2207810 pour voir ton erreurLe 😄 Farceur
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Alexique je traite la question du fil, regarde bienLe 😄 Farceur
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c'est comme si Saturne était passé entre la Terre et le Soleil...A demon wind propelled me east of the sun
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Bien compris g.b
Effet Saturne :
Sous l'influence de cette planète, on ne peut pas se précipiter. Il faut de la mesure, de la sagesse, de la prudence pour ne pas commettre d'erreurs.Le 😄 Farceur -
c'est valable pour chacun d'entre nousA demon wind propelled me east of the sun
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Gebrane je ne vois pas l'intérêt de mettre au même denominateur ça complique.
J'ai suivi la méthode de Gilles. -
Tu peux au numerateur sommer les equivalents dans ce casLe 😄 Farceur
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Ah d'accord je vais vérifier ça.
J'ai mon oral au rectorat faut que j'y aille. -
Bonne chance OshineLe 😄 Farceur
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J'avais qu'une heure ce matin une classe de cas sociaux.
J'ai exclu 2 élèves qui s'insultaient en cours.
Je ne vois pas l'intérêt de ne pas titulariser des profs pour un oral non réussi alors que plus grand monde ne veut aller enseigner à des gosses mal élevés qui ne respectent plus rien.
Je n'ai pas besoin de préparer je sais de quoi je vais parler. -
je te souhaite d’être titulariséLe 😄 Farceur
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Ça s'est bien passé j'ai su répondre à toutes les questions. L'inspecteur était sympa.
Gebrane merci. -
peut-on savoir le genre de questionsLe 😄 Farceur
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Il y a une seule question où je me suis trompé. Comment se former ?
J'ai dit en allant sur iprof et en demandant des formations, mais apparemment c'est pas sur iprof mais sur PAF.
Ils m'ont demandé quelle compétence j'évaluais lorsque je faisais passer les élèves à l'oral, et "avez-vous des supérieurs hiérarchiques ?", ou bien "Comment avez-vous fait pour obtenir le capes alors que vous n'avez pas fait de maths depuis des années ?" ou "Comment vous formez-vous sur les logiciels Géograbra, etc ?" -
Gilles, je ne comprends pas comment tu termines le travail.
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Oshine, tu t'investies encore une fois sur ces exercices pour passer l’agrégation ou autres choses ?Le 😄 Farceur
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Gebrane :
$(\sqrt{n+1}- \sqrt{n}) \ln(n)= \sqrt{n} (\sqrt{1+1/n}-1) \ln(n)$
Je ne vois pas d'équivalent évident, il faut passer par les DL. Je ne comprends pas ta méthode. -
A partir d'ici je ne comprends pas comment vous faites :
$\dfrac{\ln (n)+ 1/n+o(1/n)}{\sqrt{n}}- \dfrac{ \ln(n)}{\sqrt{n}} (1-1/2n+o(1/n))$
C'est ici mon point de blocage. -
Ne me dit pas que tu ne connais pas l'expression conjuguée de $\sqrt{n+1}- \sqrt{n}$Le 😄 Farceur
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Si $(\sqrt{n+1}- \sqrt{n}) \ln(n) = \dfrac{ \ln(n)}{\sqrt{n} (\sqrt{1+1/n}+1)} \sim \dfrac{ \ln(n)}{2 \sqrt{n}} $
Et $\sqrt{n+1} \ln(1+1/n) \sim \sqrt{n} \dfrac{1}{n}$
Les 2 équivalents du numérateur n'ont rien à voir. -
Ok donc l'un l'emporte sur l'autre, lequel et pourquoi ? Tu peux terminer tout seul comme un grand ?
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La somme est équivalente à $ \dfrac{ \ln(n)}{2 \sqrt{n}} $
Le dénominateur est équivalent à $n$
Donc le tout est équivalent à $ \dfrac{ \ln(n)}{2 n \sqrt{n}} $
Mais comment faire avec l'autre méthode ? $\dfrac{\ln (n)+ 1/n+o(1/n)}{\sqrt{n}}- \dfrac{ \ln(n)}{\sqrt{n}} (1-1/2n+o(1/n))$ quand je développe ça donne des trucs trop compliqués. -
OShine a écrit:Les 2 équivalents du numérateur n'ont rien à voir.
C'est à voir ;-)
$\sqrt{n+1} \ln(1+1/n) \sim \sqrt{n} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$. -
OShine écrivait:
>Donc le tout est équivalent à $ \dfrac{\ln(n)}{2 n \sqrt{n}} $
Faux... si tu as bien regardé sur Wolfram comme conseillé par Alexique, tu obtiens un truc en plus...
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