Équivalent simple
Bonjour
Déterminer un équivalent simple de $\dbinom{n}{2} \arctan \Big(\dfrac{ \ln n+1}{\sqrt{n}} - \dfrac{ \ln n}{\sqrt{n+1}} \Big)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On a $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n!}{ 2 (n-2) !} = \dfrac{n(n-1)}{2} \boxed{\sim \dfrac{n^2}{2}} .$
La partie de droite je bloque.
Déterminer un équivalent simple de $\dbinom{n}{2} \arctan \Big(\dfrac{ \ln n+1}{\sqrt{n}} - \dfrac{ \ln n}{\sqrt{n+1}} \Big)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On a $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n!}{ 2 (n-2) !} = \dfrac{n(n-1)}{2} \boxed{\sim \dfrac{n^2}{2}} .$
La partie de droite je bloque.
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Réponses
Si c'est le cas, écrire $\log(n+1)=\log n+\log(1+1/n)$ et $\sqrt{n+1}=\sqrt n\sqrt{1+1/n}$ et faire des développements limités en faisant attention à écrire les ordres correctement avant de faire la différence.
J'arrive à $\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big(1+ \ln(1+1/n)-\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} \Big)$
Je vais essayer de finir.
$\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big(1+ \ln(1+1/n)-\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} \Big)=\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big( \dfrac{3}{2n}- \dfrac{7}{8n^2} +o(\dfrac{1}{n^2} \Big) $
Donc $\boxed{\dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \Big(1+ \ln(1+1/n)-\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} \Big)=\dfrac{3 \ln (n)}{2n^{3/2}}-\dfrac{7 \ln(n)}{8 n^{5/2}}+o(\dfrac{ \ln (n)}{n^{5/2}})}$
Je ne vois pas comment en déduire un équivalent de $Arctan$ de tout ça.
Ben quel est le DL de $\arctan$ en 0 ? Comment on fait une composition de DL ? Tout ça, c'est du cours !! On est là pour t'aider quand tu ne sais pas faire un exo, pas pour te faire des rappels de cours, ou pour te dire de lire les exemples d'un cours bien fait.
Je t'avais mis en garde : dans le développement de la première fraction l'ordre est une puissance de $n$ pas un produit de $\log n$ avec une puissance de $n$.
Le souci ici c'est que j'ai voulu absolument factoriser au lieu de faire les 2 DL séparément puis les soustraire.
Ensuite, deux classiques: une correction s'impose ici:
1) $ \ln (n+1) = \ln(n) + \ln( 1+\frac{1}{n}) = \ln (n) $ + $1/n -1/2n^2 + o(1/n^2) $
et:
2) $\dfrac{1}{\sqrt{n+1} }= \dfrac{1}{\sqrt{n}}\dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}} = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \left( 1 - 1/2n - 3/8n^2 + o(1/n^2) \right) $
Tu divises 1) par $\sqrt{n}$ et tu multiplies 2) par $\ln (n)$ et tu soustrais... et à postériori, on peut se passer de l'ordre 2 bien que deux précautions valent toujours mieux qu'une...
La différence donne $\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} \left( \dfrac{3}{2n}-\dfrac{1}{8n^2}+o(1/n^2) \right)$
Ce qui implique : $ \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} \left( \dfrac{3}{2n} +o(\dfrac{1}{n}) \right)$ je fais une troncature du DL.
Ainsi l'équivalent recherché est $\dfrac{n(n-1)}{2} \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}} \times \dfrac{3}{2n} \sim \dfrac{3n \ln(n)}{2 \sqrt{n}}$
Enfin l'équivalent recherché est $\dfrac{3 \sqrt{n} \ln(n)}{2}$
$$\log(n+1)=\log(n)+\log(1+1/n)\underset{n \to+\infty }{\quad=\quad}\log(n)+\frac1n+o(1/n),
$$ donc
$$\frac{\log(n+1)}{\sqrt n}-\frac{\sqrt{n+1}}{\log n}\underset{n \to +\infty}{\quad\simeq\quad}\frac{\log n}{2n}.
$$ Le produit de $\log$ qui apparaît dans le 1) de gilles benson n'est pas correct.
Désolé d'avoir inversé la deuxième fraction et en plus il y a une erreur, merci bd2017
Ajout : Mais pourquoi tout le monde veut utiliser les dl ?, on peut passer par les équivalents uniquement en connaissant les équivalents de références
Bonjour
Visiblement c'est faux (même en écrivant correctement le second quotient qui a été inversé).
Supposons que cette question est donnée dans le cours sur les équivalents avant d'introduire les DL ;-)
Je ne vois pas comment tu gères l'équivalent d'une différence !
Comme $\dfrac{\log(n+1)}{\sqrt n}$ tend vers 0 et $\dfrac{\sqrt{n+1}}{\log n}$ vers l'infini (croissances comparées), le premier est négligeable devant le second et $\dfrac{\log(n+1)}{\sqrt n}-\dfrac{\sqrt{n+1}}{\log n} \sim -\dfrac{\sqrt{n+1}}{\log n} \sim -\dfrac{\sqrt{n}}{\log n}$.
Cordialement.
Édit : Merci AD, et merci Gebrane de m'avoir signalé l'oubli d'un signe - dans l'équivalent.
$\dfrac{\ln (n+1)}{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln (n)}{\sqrt{n+1}}=\frac{
(\sqrt{n+1}-\sqrt n)\ln n+\sqrt{n+1}\ln(1+\frac 1n)
}
{\sqrt{n(n+1)}}$
$$
\dfrac{\ln(n+1)}{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n+1}} \; = \; \dfrac{\ln(n) + 1/n + o(1/n) }{\sqrt{n}} - \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} \big(1 - 1/2n + o(1/n) \big).
$$ Le terme principal est donc $ \dfrac{\ln(n)}{2n\sqrt{n}} $ et le reste s'en déduit.
Je ne vois pas pourquoi mon équivalent est faux.
@rakam, gebrane, gerard : ce n'est pas la suite d'OS originale que vous traitez...
Effet Saturne :
Sous l'influence de cette planète, on ne peut pas se précipiter. Il faut de la mesure, de la sagesse, de la prudence pour ne pas commettre d'erreurs.
J'ai suivi la méthode de Gilles.
J'ai mon oral au rectorat faut que j'y aille.
J'ai exclu 2 élèves qui s'insultaient en cours.
Je ne vois pas l'intérêt de ne pas titulariser des profs pour un oral non réussi alors que plus grand monde ne veut aller enseigner à des gosses mal élevés qui ne respectent plus rien.
Je n'ai pas besoin de préparer je sais de quoi je vais parler.
Gebrane merci.
J'ai dit en allant sur iprof et en demandant des formations, mais apparemment c'est pas sur iprof mais sur PAF.
Ils m'ont demandé quelle compétence j'évaluais lorsque je faisais passer les élèves à l'oral, et "avez-vous des supérieurs hiérarchiques ?", ou bien "Comment avez-vous fait pour obtenir le capes alors que vous n'avez pas fait de maths depuis des années ?" ou "Comment vous formez-vous sur les logiciels Géograbra, etc ?"
$(\sqrt{n+1}- \sqrt{n}) \ln(n)= \sqrt{n} (\sqrt{1+1/n}-1) \ln(n)$
Je ne vois pas d'équivalent évident, il faut passer par les DL. Je ne comprends pas ta méthode.
$\dfrac{\ln (n)+ 1/n+o(1/n)}{\sqrt{n}}- \dfrac{ \ln(n)}{\sqrt{n}} (1-1/2n+o(1/n))$
C'est ici mon point de blocage.
Et $\sqrt{n+1} \ln(1+1/n) \sim \sqrt{n} \dfrac{1}{n}$
Les 2 équivalents du numérateur n'ont rien à voir.
Le dénominateur est équivalent à $n$
Donc le tout est équivalent à $ \dfrac{ \ln(n)}{2 n \sqrt{n}} $
Mais comment faire avec l'autre méthode ? $\dfrac{\ln (n)+ 1/n+o(1/n)}{\sqrt{n}}- \dfrac{ \ln(n)}{\sqrt{n}} (1-1/2n+o(1/n))$ quand je développe ça donne des trucs trop compliqués.
C'est à voir ;-)
$\sqrt{n+1} \ln(1+1/n) \sim \sqrt{n} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
>Donc le tout est équivalent à $ \dfrac{\ln(n)}{2 n \sqrt{n}} $
Faux... si tu as bien regardé sur Wolfram comme conseillé par Alexique, tu obtiens un truc en plus...