Comportement sur le cercle de convergence

rakam
rakam
dans Analyse
Dans la plupart des cours on trouve, après la définition du rayon de convergence,
  • des exemples où la série est absolument convergente en tout point du cercle de convergence
  • des exemples où il y a divergence grossière en tout point du dit cercle
  • des exemples de deux parties complémentaires où on a soit la semi-convergence soit la divergence non grossière
Mais il est rare qu'on donne des exemples où une des parties du cas 3. est vide.

Si vous trouvez ce silence frustrant je vous propose deux exemples (le deuxième est un héritage du regretté Jean-Marie Exbrayat).

Désolé pour la partie qui a échappé à la latexification : merci de m'indiquer comment faire pour l'avenir.
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Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Un exemple classique : la série entière $\sum_n \frac{z^n}{n}$, qui converge en tout point du cercle unité, sauf en $1$, avec divergence non grossière en ce point.
  • gilles benson
    gilles benson
    bonjour, un certain nombre de ces questions sont traitées dans l'ouvrage de Titchmarsh: Theory of Functions chez Oxford dans le chapitre "Power series".
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • gebrane
    gebrane
    Gilles benson, bonjour
    Une question indiscrète, tu es devenu très actif ces jours-ci. En ce qui me concerne j'apprécie tes contributions. Y a-t-il un secret ? (Plus de temps libre = passage à la retraite.)
    Le 😄 Farceur


  • gilles benson
    gilles benson
    Bonjour, disons que cela me change de jouer 60 partie d'échecs en blitz par jour en ligne (60 x 6 mn = ....?) ou de passer des heures à civiliser le monde en attendant que la situation actuelle évolue dans le bon sens ; pour la retraite, c'est déjà fait et je rêve de moins en moins du travail même si mes collègues, pour certains, me manquent. Ceci étant, je connais les limites de ce forum pour les avoir déjà atteintes il y a quelques années et je n'envisage pas de battre le record du nombre de messages postés ici ; je suis revenu aussi du fait de la qualité renouvelée de certains intervenants (et donc je regrette d'autant plus la disparition récente de l'un d'entre eux...) Voilà.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • gebrane
    gebrane
    Merci pour la réponse
    Le 😄 Farceur


  • rakam
    rakam
    @poirot : je pense que tu n'as pas vu que je cherchais
    ou bien divergence non grossière en tout point
    ou bien convergence non absolue en tout point.
    Le cas que tu cites entre dans ce que j'ai appelé "le troisième cas".
  • Poirot
    Poirot
    Effectivement j'avais mal lu, je croyais que tu cherchais un exemple pour le cas 3.
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