Danger de l'écriture o(u)=o(v) par rakam
Bonjour,
Suite à une mise à l'ordre initiée par rakam dans le fil de OS,
je me demande s'il y a vraiment un danger lorsqu'on utilise les notations de Landau d'une manière abusive. De ma part, étant donné deux suites $u$ et $v$, j'ai appris en première année que dans l’écriture abusive $u=o(v)$ l’égalité ne signifie pas une égalité mais une appartenance, donc $u=o(v)$ est une abréviation de $u\in o(v)$ et signifie que $u$ appartient à l'ensemble des suites négligeables devant $v$.
Aussi dans l’écriture abusive $o(u)=o(v)$ l’égalité ne signifie pas une égalité mais une inclusion, donc $o(u)=o(v)$ est une abréviation de $o(u)\subset o(v)$ et signifie que l'ensemble des suites négligeables devant $u$ est inclus dans l'ensemble des suites négligeable devant $v$.
Par exemple si l'on accepte l'abus $o(1/n²)=o(1/n)$ il ne faut croire que cette égalité abusive donne aussi que $o(1/n)=o(1/n²)$
Une critique, un complément, des dangers que je ne vois pas ?
Suite à une mise à l'ordre initiée par rakam dans le fil de OS,
je me demande s'il y a vraiment un danger lorsqu'on utilise les notations de Landau d'une manière abusive. De ma part, étant donné deux suites $u$ et $v$, j'ai appris en première année que dans l’écriture abusive $u=o(v)$ l’égalité ne signifie pas une égalité mais une appartenance, donc $u=o(v)$ est une abréviation de $u\in o(v)$ et signifie que $u$ appartient à l'ensemble des suites négligeables devant $v$.
Aussi dans l’écriture abusive $o(u)=o(v)$ l’égalité ne signifie pas une égalité mais une inclusion, donc $o(u)=o(v)$ est une abréviation de $o(u)\subset o(v)$ et signifie que l'ensemble des suites négligeables devant $u$ est inclus dans l'ensemble des suites négligeable devant $v$.
Par exemple si l'on accepte l'abus $o(1/n²)=o(1/n)$ il ne faut croire que cette égalité abusive donne aussi que $o(1/n)=o(1/n²)$
Une critique, un complément, des dangers que je ne vois pas ?
Le 😄 Farceur
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Réponses
Il y a des avantages et des désavantages aux deux notations. Effectivement ce n'est pas une égalité au sens ensembliste du terme. Mais comme toujours en maths, il y a des abus de langage qui sont un mal nécessaire. Oui si on ne sait pas ce qu'on fait ça peut être dangereux, non on ne peut pas se passer de ces abus sinon même un cours de L1 prendrait 4000 pages et un cours de M2 100000.
NB : et sans rien n'y connaître, c'est bien pour ça que je doute qu'un logiciel de vérification formelle puisse être utilisé à grande échelle sans supervision à moyen terme.
On veut exprimer que o(f) est inclus dans o(g) ? Alors oublions le symbole "=" et cherchons autre chose, on pourrait utiliser une notation plus algébrique du type [f] < [g] pour exprimer que toute fonction h qui est o(f) est aussi o(g). Le symbole "<" a le mérite de bien distinguer [f] < [g] de [g] < [f]. Sinon utilisons le symbole de l'inclusion ensembliste. Si on ne veut pas utiliser le crochet, écrivons simplement o(f) < o(g).
Les choix pour eviter toute ambiguïté sont infinis, mais utiliser le "=" pour exprimer une inclusion ensembliste c'est de la torture mentale.
Si f=o(x2) et g=o(x2) déduit-t-on que f=g ?
> La notation "=" a un sens très précis [...]
Quel est le sens de la notation = ? ;-)
Tu désires donner un sens à $a=b$ tel que l’on ne puisse pas écrire $b=a$.
Pour ma part, j’ai déjà écrit $f=o(g)$ et ça ne me dérangerait pas que l’on écrive $o(g)=f$.
Je ne sais pas pourquoi, j’adore quand le $=$ est une relation d’équivalence, et en tous les cas une relation symétrique.
(1) La vision ensembliste $f=o(g)$ signifiant $f \in Negligeable(g)$ me convient.
(2) Mais dans ce cas que signifie $o(h)=o(g)$ ?
Est-ce $o(h) \in Negligeable(g)$ ? Ha non, là c’est une inclusion...
Donc le $=$ de la ligne (1) n’est pas le $=$ de la ligne (2).
Je n’invente rien mais cherche de la cohérence.
Bien entendu, le « = » a plusieurs significations mais là on souhaite en proposer une qui n’est pas symétrique.
C’est assez déraisonnable.
Franchement il n'y aurait pas de problème si au lieu de caser les $o(x^n)$ et $O(x^n)$ dans les développements limités on utilisait directement les differents représentants de ces classes.
Exemple :
Si au lieu d'écrire le dl de $\exp(x)$ à l'ordre 2 comme $\exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ on le réécrivait comme $\exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^2 \psi(x)$, où $\psi(x)$ est une fonction qui tend vers 0 pour $x\to0$. C'est la façon la plus directe pour lever toute ambiguïté dans les manipulations algébriques faisant intervenir les $o$ et $O$.
Je suis d’accord avec ta traduction « double inclusion ».
Le problème est que dans la discussion initiée par gebrane, l’égalité ne signifie pas cette double inclusion.
L’auteur écrit dans le sens « ce qui est à gauche est un ptit $o$ de ce qui est à droite ».
Mais pas nécessairement dans l’autre sens.
Voir la dernière phrase de gebrane dans le premier message :
« Par exemple si l'on accepte l'abus ... ».
En fait au lieu d'un abus de notation il y en a deux. Dans la théorie des DL le "=" est utilisé dans tous les sens excepte celui pour lequel il est né. C'est ridicule.
Serge explique que ta façon*** de lire $o(f)=o(g)$ n’est pas « l’officielle ».
Ce n’est pas un abus de mon point de vue mais le plus souvent une erreur de l’auteur qui maîtrise mal ces choses.
Je dis bien le plus souvent...
***
Tu dis « mais en connaissant bien leurs significations que j'ai précisé »
Justement tu précises une signification qui n’est pas la bonne.
J’irais plus loin : cette écriture n’a pas de sens !
La définition qu’on trouve partout est $une fonction = o(une fonction)$ et puis c’est tout !
Le = est quand même pratique car une fois traduit, c’est bien une égalité...
Mais le but de la première écriture est justement d'éviter de devoir spécifier que $\psi$ est une fonction qui tend vers 0 pour $x\to0$ à chaque fois... c'est ce qui rend le $o$ pratique dans ce cas.
Après moi-même je ne suis pas un grand manipulateur des $o,O$ & Co.
On peut toujours faire une erreur de calcul (après tout on est pas des machines), les notations abusives ajoutent une source supplémentaire d'erreurs. Quand c'est possible il vaut mieux utiliser des notations qui ne sont pas sources d'ambiguïtés même si un peu plus lourdes à utiliser dans la pratique.
Mais toujours dans un contexte « copie » ou maladresse sur tableau.
Ou comme relevé ici, dans le fil commenté par rakam.
J’avoue ne jamais l’avoir vu utilisée par des « pros ».
Mais ça ne signifie rien, je n’en suis pas un.
https://math.stackexchange.com/questions/84021/is-o-frac1n-o1
Peut être le monde des anglo-saxon est plus souple et dans mon cursus, je ne trouvais aucun inconvénient ou critique de la part de mes prof si je dis sin x =x+O(x^3)=x+o(x^2)
Soient $f$, $g$, $h$ des fonctions définies comme il le faut et un élément $a$ dans le domaine de définition, etc.
1) J’attends un cours avec la définition de : $f=o(g)$.
2) J’attends dans le même cours la définition de : $o(h)=o(g)$.
Après on pourra peut-être échanger sur du concret.
Attention :
si dans le « 1) », le $o(g)$ désigne un ensemble, alors on nage en plein délire pour accepter que le « 2) » ne soit pas une égalité d’ensembles.
si dans le « 1) », l’égalité n’est pas définie à l’aide d’un ensemble, alors je veux bien voir ce cours qui définit le « 2) ».
NB : je vais essayer de lire tout le passage avec l’extrait que tu cites pour voir si ça contient les deux définitions que je demande. Je dois combattre mon allergie inavouable et irrationnelle à l’anglais.
Pour la fin de ton message :
C’est plutôt ambigu et on ne sait pas si le correcteur laisse passer cette ligne en pensant exactement à cette discussion ou s’il laisse passer cette ligne en interprétant ce $A=B=C$ comme une flemme d’écrire $A=B ; A=C$ (sans avoir $B=C$).
C’est un argument que je vais garder pour justifier que les égalités enchaînées sont dangereuses, merci !
Je n’ai certainement pas tout compris mais presque...
Ça parle de différents usages des mêmes notations, non ?
Comment savoir l’usage qu’en fait une personne ?
Généralement, quand il y a une ambiguïté dans une notation, le contexte est sensé la lever, encore faut-il qu'il soit bien restitué.
On ne sort de l'ambiguïté qu'à son détriment (Galois aurait pu le dire).
À bientôt.
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Par exemple, si l'on est choqué par u = o(f) et v = o(f) implique u+v = o(f), et plus encore par o(f) + o(f) = o(f), il suffit de traduire mentalement par
u = o1(f) et v = o2(f) implique u+v = o3(f), et o1(f) + o2(f) = o3(f) pour résorber le choc en soulagement :-)
Si, si, le = est symétrique dans ce cas.
Soit $x$ le nombre réel tel que $2+3=x$ ne me gêne pas.
Quel est le problème ?
GG,
Le problème n’est pas là.
Le problème est qu’un moment donné dans une rédaction, on tombe sur $o(f)=o(g)$ et la question est de savoir ce que cela veut dire.
Ce "non commode" vaut aussi pour la suggestion précédente.
Une suggestion :
Pourquoi ne pas systématiser l'utilisation de ces notations avec mention OBLIGATOIRE de la base de filtre concernée.
On n'aurait alors plus de "=" (qui incite à la symétrie) mais des "$ \underset{blabla }{\quad=\quad}$" qu'on apprendrait à ne pas considérer comme symétrique.
Avantage supplémentaire : éviter toute ambiguïté du genre $o(x^n)$ où, dans certains contextes, on ne sait plus si on prend les limites pour $n=+\infty$ ou pour $x=0$.
Pour la petite histoire j'ai vu un collègue (bien plus compétent que moi) se faire avoir avec ce piège.
Quant aux $o(f)=o(g)$ je serais d'avis de les bannir, je ne vois vraiment pas l'utilité de ce genre de rédaction.
Comme GG, je vois la notation comme une instanciation d'une variable d'un certain type (informatiquement parlant).
A priori, deux instanciations n'ont aucune raison d'être les mêmes.
En général, les élèves comprennent très bien qu'il faut faire attention.
Effectivement, on peut éviter les problèmes en écrivant différemment, mais cela complique considérablement les écritures, même pour des petites démonstrations (j'ai par exemple en tête la démonstration du calcul de la dérivée d'une composée de fonctions).
Comme dans beaucoup de domaines, la solution ne se trouve pas dans la prohibition mais dans l'éducation.
Je suis assez d’accord.
Cependant $o(g)=f$ a tendance à moins m’effrayer (même si on ne le rencontre pas***...).
Le fil soulève la signification différente de $o(f)=o(g)$.
Un camp dit que c’est une double inclusion d’ensembles et l’autre dit que ça ne signifie qu’une seule inclusion.
[small]Une remarque : je ne suis plus au fait du $\Theta$.
N’est-ce pas une sorte de $O(.)=O(.)$ ? (je vais regarder... mais je laisse la question pour les curieux ;-))[/small]
***
Quelqu’un a-t-il déjà vu dans une copie ou ailleurs un $o(f)=g$ ?
Moi ça m'effraie car ça permet de démontrer que $\lim_{x\to 0}\frac {o(1)}{x^n}=0,\quad \forall n\in \mathbb N$
Puisque $x^{n+1}=o(1)$ ( au voisinage de 0), alors Dom ne se gène pas d'écrire $o(1)= x^{n+1}$ ( tu l'as dit aussi hier), alors $\frac {o(1)}{x^n}=\frac {x^{n+1}}{x^n}=x\to 0$
En plus bisam a rappelé que $f=o(g)$ n'est pas symétrique .
soit $f$, soit $g$,
Écrire $f =_{*}o(g)$ signifie il existe $\varepsilon$ qui tend vers $0$ tel que $f=\varepsilon g$.
Remarque : dans ces conditions on a aussi $\varepsilon g=f$.
On convient qu’on peut écrire alors $o(g)=_{*}f$.
Honnêtement, je ne l’ai jamais vu mais ça ne me gênerait pas.
Toi, tu décides de prendre le $=_{*}$ et de l’utiliser dans le $=$ normal.
[small]Le = normal signifie d’ailleurs un «$ \forall x$, $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$
C’est encore un autre = mais ça on est d’accord j’imagine. [/small]
Question : comment, toi, avec la définition que j’adopte tu passes à « ce que signifie $o(f)=o(g)$ » ?
Je te laisse choisir :
1) tu utilises ma définition, et alors tu réponds à ma question : que signifie $o(f)=o(g)$.
Moi je ne sais pas le faire sauf à écrire quelque chose de peu intéressant.
2) tu utilises une autre définition (avec les ensembles ?) et alors je t’écoute aussi pour savoir comment tu déduis ce qui signifie cette égalité de $o$ qui, pour ma part, est bien une vraie égalité d’ensembles et pas seulement une inclusion.
On ne parle ici que de symétrie.
Une autre remarque :
Que signifie pour toi : $\lim_{x\to 0}\frac {o(1)}{x^n}=0,\quad \forall n\in \mathbb N$ ?
Rien que de voir $\frac {o(1)}{x^n}$, moi je n’y touche pas.
Alors ne me fais pas dire des choses comme ça.
Toi tu sais ce que c’est ça ? $\frac {o(1)}{x^n}$ ?
Je t’écoute.
Tu ne dis toujours pas ton choix de définition.
Ça ne peut pas avancer.
Édit : je veux bien faire amende honorable et dire que le = n’est pas symétrique car on a un seul petit $o$ dans un des membres dans ma définition. Mais je ne sais pas ce que signifie alors un petit $o$ dans chaque membre.
Toi j’attends toujours...
Si tu n'aime pas une inclusion , c'est une lecture de: à gauche à droite,
donc pour démontrer un truc $o(f)=o(g)$, on démontre que pour toute fonction h négligeable devant f alors h est aussi négligeable devant g. Tu persistes à ignorer son existence alors que je t'ai donné un exemple flagrant sur wiki que je mets en image
Alors que signifie $\sin (x) = x+ o(x)$ ?
Tu ne peux pas dire : je définis $f=o(g)$ seulement.
Tu dois aussi dire : je définis $f=u+o(g)$.
Ces deux « = » sont les mêmes pour toi ou pas ?
Le premier est une inclusion, ok.
Mais le second ?
Une remarque sur la photo que tu viens de prendre.
Est-ce un bon exemple ?
Je veux dire, sais-tu démontrer que l’inclusion est stricte ?
L'expression $F \underset{\xi \to \ell}= o(G)$ est l'abréviation bête et méchante de "il existe un voisinage $V$ de $\ell$ et une fonction $\eta$ qui tend vers $0$ en $\ell$ et qui est telle que pour tout $\xi\in V$, $\eta(\xi)G=F$" (à adapter au cas des limites épointées pour ceux qui préfèrent).
Bref ceci est l'exhibition du contenu bas niveau de $F \underset{\xi \to \ell}= o(G)$ qui n'est pas une égalité et si on le dissimule par "pédagogie", on ne fait qu'entretenir des confusions.
Mais je t'ai indiqué un autre plus simple sur ME $\cal{O}(x^3) = o(x^2)$ et tu vois que le = n'est pas symetrique
$$o(F) \underset{\xi \to \ell}= o(G)$$
Je suis d’accord avec tout ça. Et notamment l’aspect pédagogique que tu dénonces. Je fais avec.
Mais est-ce que ton texte définit (avec les mêmes notations pour les lettres) : $o(F) \underset{\xi \to \ell}= o(G)$ ou est-ce qu’il faut ajouter du texte ?
Car dans ce cas $o(F)$ ne désigne pas un réel si j’ai bien compris.
gebrane,
Tu abuses en me sortant un exemple de ME.
Au passage as-tu fait exprès d’écrire un grand et un petit $o$ ?
C’est encore autre chose.
L’exemple du fil d’où est parti la polémique est clairement une non maitrise de l’auteur.
Est-ce que tu le reconnais, ça ?
Quel sens ça peut avoir?
EDIT : Foys, tu es au courant que c'est le sujet du fil ? :-D
L'égalité mathématique (peut importe ce que ça veut dire) est symétrique. Dans le langage courant les gens peuvent se laisser aller à abréger "A est un B" (qui est vague!!) par "A=B" mais on est déjà dans l'abus de notation mathématique (*). Les notations de Landau ne s'sutilisent que dans des situations très spécifiques. Personnellement en cas de doute je remplace $f=o(g)$ (resp $f=O(g)$) par $f=eg$ avec $e$ tendant vers $0$ au point considéré (resp. $e$ bornée au voisinage de ce point).
[size=x-small](*) une bonne règle pour l'emploi d'abus de langage et de notations mathématiques devrait être non pas de ne jamais en faire (infaisable en pratique) mais plutôt: commettez tous les abus de notation et de langage que vous voulez à condition qu'ils soient documentés et que le sens exact de la notation ou expression abusive soit facilement et fidèlement reconstituable. Sinon vous allez mettre des mois à retrouver où l'erreur a été commise.[/size]
$$\cal{O}(n\ln n) = \cal{O}(\ln(n!))$$
, tu vas lui répondre, je ne connais pas cette notation et tu fermes la discussion ?
Mon interprétation de cette question est : "montrer que si $f = O(n \ln n)$, alors $f = O(\ln(n!))$ (au sens de l'inclusion, donc).
Je n'ai jamais vu $o(f)=o(g)$ utilisé dans le sens de l'égalité (ce qui n'aurait pas beaucoup d'intérêt), seulement dans le sens de l'inclusion.