Retour sur $x^x-\sin(x)^{\sin(x)}$
Je préfère ouvrir un nouveau topic selon la suggestion de alexique.
La fonction $f : x\mapsto x^x$ est $C^1$ sur $\R_+^*$ et continue (par prolongement) en $0$.
On a donc $f(x)-f(\sin(x))=(x-\sin(x))\,f'(a_x),$ avec $\sin(x)<a_x<x$
Puis
\begin{align*}
f'(a_x)&\quad=\quad(1+\log a_x)\mathrm{e}^{a_x\log a_x}=\mathrm{e}^{a_x\log a_x}+\log a_x\mathrm{e}^{a_x\log a_x} \\
f'(a_x) &\underset{x \to 0^+ }{\quad=\quad} 1+o(1)+\log a_x(1+o(1))\underset{x \to 0^+ }{\quad=\quad}\log a_x+o(\log a_x)
\end{align*} ce qui donne l'équivalent cherché plus rapidement.La même méthode peut être utilisée pour le (également classique) $x^{(x^x)}-(\sin x)^{((\sin x)^{(\sin x)})}$.
La fonction $f : x\mapsto x^x$ est $C^1$ sur $\R_+^*$ et continue (par prolongement) en $0$.
On a donc $f(x)-f(\sin(x))=(x-\sin(x))\,f'(a_x),$ avec $\sin(x)<a_x<x$
Puis
\begin{align*}
f'(a_x)&\quad=\quad(1+\log a_x)\mathrm{e}^{a_x\log a_x}=\mathrm{e}^{a_x\log a_x}+\log a_x\mathrm{e}^{a_x\log a_x} \\
f'(a_x) &\underset{x \to 0^+ }{\quad=\quad} 1+o(1)+\log a_x(1+o(1))\underset{x \to 0^+ }{\quad=\quad}\log a_x+o(\log a_x)
\end{align*} ce qui donne l'équivalent cherché plus rapidement.La même méthode peut être utilisée pour le (également classique) $x^{(x^x)}-(\sin x)^{((\sin x)^{(\sin x)})}$.
Réponses
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Bonjour très intéressant. Théorème des accroissements finis.
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Chercher un équivalent de $x^x-\sin(x)^{\sin(x)}$ c'est exactement chercher un équivalent de $x\ln x-\sin x\ln(\sin x))$Le 😄 Farceur
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Bonjour
ton expression peut s'écrire $x^x\Big[1 - \dfrac{\sin x^{\sin x}}{x^x}\Big]$ équivalente pour $x$ tendant vers $0^+$ à :
$x^x\Big[1 - \big(\dfrac{\sin x}{x}\big)^x\Big]$ et en considérant le développement limité de $\sin x/x$ soit $1 - x^2/6$ il vient l'équivalent :
$x^x\Big[1 - \big(1 - \dfrac{x^2}{6}\big)^x\Big]$ soit donc $x^x\Big[1 - 1 + \dfrac{x^3}{6}\Big]$ et donc $\dfrac{x^{x + 3}}{6}$
finalement ton expression $\quad x^x - \sin x^{\sin x}\quad$ tend vers $0$ comme $\quad\dfrac{x^3}{6}.$
Cordialement -
Jean Lismonde le passage de la ligne $1$ à $2$ n'est pas justifié.
La fin je ne comprends pas la raisonnement non plus. -
Gebrane a raison, les techniques habituelles de calcul des développements limités conviennent, il n'est pas nécessaire d'utiliser le théorème des accroissements finis.
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On a : $u(x)=(\sin x)\ln \sin x-x\ln x\sim -\frac{x^{3}}{6}\ln x\rightarrow 0$ quand $x\rightarrow 0$.
Par suite : $x^{x}-(\sin x)^{\sin x}=e^{x\ln x}-e^{(\sin x)\ln \sin x}=e^{x\ln
x}(1-e^{u(x)})\sim -u(x)\sim \frac{x^{3}}{6}\ln x$.
Les courageux peuvent pousser le développement limité.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
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Bonjour!
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