Convergence d'une intégrale

evariste21
evariste21
dans Analyse
Bonjour
Comment puis-je étudier la convergence de l'intégrale suivante :
$$\int_{2}^{+\infty}\tan^{-1}\Big(\frac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}} \Big)dx\quad?

$$ La partie laide est $\tan^{-1}(\cdots)$, car la quantité $\dfrac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}}$ est pour des fractions partielles $\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$. Je suis sûr que ce n'est pas une bonne idée de calculer d'abord l'intégrale indéfinie, puis la limite.
Merci d'avance.

Réponses

  • P.
    P.
    Pas de probleme pour faire une integration par parties avec $U=\arctan(...), \ V(x)=x.$
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Evariste21: je pense que le changement de variable $y=1/x$ serait utile ici car sauf erreur on obtient:

    $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\operatorname{arctan}\left( \frac{\left( x-2\right) \, {{x}^{3}}}{{{\left( x-1\right) }^{2}}}\right) }{{{x}^{2}}}dx$

    Et l'intégrande peut être prolongée par continuité en $x=0$ (ce qui fait qu'on intègre une fonction continue sur l'intervalle $\left[0;\frac{1}{2}\right]$)

    PS:
    Le développement en série de l'intégrande est remarquable si je n'ai pas fait d'erreur de calcul. :-)
    (Edit: illusion due au fait que je ne suis pas allé assez loin dans le développement en série entière)
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour

    la convergence de l'intégrale sur la borne supérieure ne fait aucun doute
    puisqu'un équivalent asymptotique de la fonction à intégrer est $\frac{-2}{x^3}$

    un développement asymptotique de $Arctan[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x-1)^2}]$
    nous permet de trouver seulement une valeur approchée de l'intégrale

    Cordialement
  • gebrane
    gebrane
    JL, très efficace (tu)
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Fin de partie
    Maintenant, il reste à calculer cette intégrale.
  • gebrane
    gebrane
    FDP pour le calcul : par ipp de P, on tombe sur l'intégrale d'une fraction rationnelle, après il faut avoir du courage
    Le 😄 Farceur


  • evariste21
    evariste21
    Quelqu'un peut-il commencer l'intégration en partie?
  • evariste21
    evariste21
    FdP a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2209824,2209852#msg-2209852
    Et l'intégrande peut être prolongée par continuité en $x=0$ (ce qui fait qu'on intègre une fonction continue sur l'intervalle $[0;\frac{1}{2}]$)

    Pouvez-vous expliquer un peu plus cette extension continue à x = 0, pourquoi est-ce possible ?
    Le changement de variable y=1/x conduit à une intégrale plus agréable.
    Merci.
  • gebrane
    gebrane
    Quelqu'un peut-il commencer l'intégration en partie?

    Oui, ce quelqu'un est toi.
    Le 😄 Farceur


  • evariste21
    evariste21
    gebrane,

    D'accord, je vais continuer d'essayer.

    Merci
  • evariste21
    evariste21
    Voici mon travail sur l'intégration.
    $$\int \arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big){d}x.

    $$ Soit $u(x):=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big)$ et $v(x)=x$. Donc par IPP : $\quad\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x).
    $
    Depuis que, $$u(x)=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big), \quad dv(x)=dx,\\
    du(x)=-\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1}dx, \quad v(x)=x.

    $$ Donc, $$\int \arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big){d}x=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big)\cdot x-\int x \cdot\Big[ -\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\Big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \Big)^{2}+1}\Big]dx.$$
  • evariste21
    evariste21
    La dernière intégrale est l'endroit où j'ai des problèmes. Jusqu'à présent, j'ai ceci.
    $$
    \int x \cdot\Bigg[ -\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1}\Bigg]dx
    =
    \int \bigg[ \frac{2x}{\big[\big(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1 \big](x-1)^{3}}-\frac{2}{\big[\big(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1 \big]x^{2}}\bigg]dx.$$
  • evariste21
    evariste21
    Je ne sais pas comment intégrer cela. L'intégrale peut également être écrite comme suit. $$\frac{6x^{5}-12x^{4}+8x^{3}-2x^{2}}{x^{8}-4x^{7}+6x^{6}-4x^{5}+x^{4}+4x^{2}-4x+1}.

    $$ Mais je ne sais pas si cela est utile ici.
    PS. C'est tout mon travail avec IPP.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Evariste21: Qu'est-ce qui te fait croire que cette intégrale a une valeur intéressante à calculer?
  • P.
    P.
    Pas mal. Mais je ferais d'abord le changement de variable $x=\frac{1}{2}(y+1)$ pour avoir des expressions beaucoup plus symetriques, avec $\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x^2}=f(y)=\frac{8y}{(y^2-1)^2}.$ Ton integrale apres integration par parties sera plutot $$\frac{1}{2}\int_3^{\infty}\frac{yf'(y)}{1+f(y)^2}dy.$$ Mais comme $f$ est impaire, alors $f'$ est paire et donc le changement de variable $u=y^2$ s'impose et fait degringoler les degres de l'abominable fraction rationnelle sur laquelle tu atterrissais.
  • evariste21
    evariste21
    @Fin de partie : Je suivais simplement la suggestion de @ P concernant le IPP. J'ai pensé qu'alors je pourrais calculer la limite du résultat.

    Quoi qu'il en soit, je suis curieux de savoir comment intégrer cette fonction rationnelle. Existe-t-il un moyen d'attaquer le calcul ou devons-nous faire une approximation numérique?
  • evariste21
    evariste21
    @P: Merci beaucoup, votre suggestion était très claire. Je vais lire votre nouvelle suggestion en détail.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Evariste21:

    En principe on sait calculer ce type d'intégrales: il faut factoriser* le dénominateur et faire une décomposition en éléments simples. Le problème ici est qu' a priori la factorisation du dénominateur va être épouvantable. Il n'y a pas de factorisation simple (c'est à dire comme un produit de polynômes à coefficients rationnels)

    *: en facteurs de degré au plus deux. C'est possible d'après le théorème de D'Alembert Gauss et le fait que les racines complexes sont conjuguées.
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