Convergence d'une intégrale
dans Analyse
Bonjour
Comment puis-je étudier la convergence de l'intégrale suivante :
$$\int_{2}^{+\infty}\tan^{-1}\Big(\frac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}} \Big)dx\quad?
$$ La partie laide est $\tan^{-1}(\cdots)$, car la quantité $\dfrac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}}$ est pour des fractions partielles $\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$. Je suis sûr que ce n'est pas une bonne idée de calculer d'abord l'intégrale indéfinie, puis la limite.
Merci d'avance.
Comment puis-je étudier la convergence de l'intégrale suivante :
$$\int_{2}^{+\infty}\tan^{-1}\Big(\frac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}} \Big)dx\quad?
$$ La partie laide est $\tan^{-1}(\cdots)$, car la quantité $\dfrac{1-2x}{(x-1)^{2}x^{2}}$ est pour des fractions partielles $\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$. Je suis sûr que ce n'est pas une bonne idée de calculer d'abord l'intégrale indéfinie, puis la limite.
Merci d'avance.
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Réponses
$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\operatorname{arctan}\left( \frac{\left( x-2\right) \, {{x}^{3}}}{{{\left( x-1\right) }^{2}}}\right) }{{{x}^{2}}}dx$
Et l'intégrande peut être prolongée par continuité en $x=0$ (ce qui fait qu'on intègre une fonction continue sur l'intervalle $\left[0;\frac{1}{2}\right]$)
PS:
Le développement en série de l'intégrande est remarquable si je n'ai pas fait d'erreur de calcul. :-)
(Edit: illusion due au fait que je ne suis pas allé assez loin dans le développement en série entière)
la convergence de l'intégrale sur la borne supérieure ne fait aucun doute
puisqu'un équivalent asymptotique de la fonction à intégrer est $\frac{-2}{x^3}$
un développement asymptotique de $Arctan[\frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x-1)^2}]$
nous permet de trouver seulement une valeur approchée de l'intégrale
Cordialement
Pouvez-vous expliquer un peu plus cette extension continue à x = 0, pourquoi est-ce possible ?
Le changement de variable y=1/x conduit à une intégrale plus agréable.
Merci.
Oui, ce quelqu'un est toi.
D'accord, je vais continuer d'essayer.
Merci
$$\int \arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big){d}x.
$$ Soit $u(x):=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big)$ et $v(x)=x$. Donc par IPP : $\quad\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x).
$
Depuis que, $$u(x)=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big), \quad dv(x)=dx,\\
du(x)=-\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1}dx, \quad v(x)=x.
$$ Donc, $$\int \arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big){d}x=\arctan \Big(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}} \Big)\cdot x-\int x \cdot\Big[ -\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\Big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \Big)^{2}+1}\Big]dx.$$
$$
\int x \cdot\Bigg[ -\frac{\frac{2}{x^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}}{\big( \frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1}\Bigg]dx
=
\int \bigg[ \frac{2x}{\big[\big(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1 \big](x-1)^{3}}-\frac{2}{\big[\big(\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{1}{x^{2}} \big)^{2}+1 \big]x^{2}}\bigg]dx.$$
$$ Mais je ne sais pas si cela est utile ici.
PS. C'est tout mon travail avec IPP.
Quoi qu'il en soit, je suis curieux de savoir comment intégrer cette fonction rationnelle. Existe-t-il un moyen d'attaquer le calcul ou devons-nous faire une approximation numérique?
En principe on sait calculer ce type d'intégrales: il faut factoriser* le dénominateur et faire une décomposition en éléments simples. Le problème ici est qu' a priori la factorisation du dénominateur va être épouvantable. Il n'y a pas de factorisation simple (c'est à dire comme un produit de polynômes à coefficients rationnels)
*: en facteurs de degré au plus deux. C'est possible d'après le théorème de D'Alembert Gauss et le fait que les racines complexes sont conjuguées.