Racines carrées d'une matrice

C'est un résultat classique faux : si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes qui commutent, les vecteurs propres de l'un sont vecteurs propres de l'autre.

Cf. le message de bisam.

Sinon, on pouvait prendre $A=I_3$. (:D

Bonjour
je trouve non pas huit mais une seule solution à l'équation matricielle : $X^2 = A$.
Remarquons que la matrice $A$ est triangulaire supérieure et que ses valeurs propres sont $3$, $4$ et $1$ dans l'ordre sur la diagonale principale.
La racine carrée de $A$ est forcément une matrice triangulaire supérieure de valeurs propres $\sqrt{3}$, $2$ et $1$ dans l'ordre et donc du type : $$B = \sqrt{A} = \begin{pmatrix}\sqrt{3}&0&0\\a&2&0\\b&c&1\end{pmatrix},

$$ avec $a, b$ et $c$ paramètres réels que nous allons déterminer par identification terme à terme de $
\quad B^2 = A = \begin{pmatrix}3&0&0\\8&4&0\\5&0&1\end{pmatrix}
$
Nous trouvons assez facilement : $c = 0 ; \ a = 8(2-\sqrt{3}) ;\ b = \frac{5}{2}(\sqrt{3} - 1)$,
et donc $$\sqrt{A} = \begin{pmatrix}\sqrt{3}&0&0\\8(2 - \sqrt{3})&2&0\\\frac{5}{2}(\sqrt{3}-1)&0&1\end{pmatrix}.

$$ Si nous remplaçons successivement chaque valeur propre par son opposée, l'identification n'est pas honorée.
Cordialement.

Bonjour,

Il y a bien évidemment huit solutions.

L'affirmation surlignée est tout à fait correcte : si un sous-espace propre $D$ pour $A$ est une droite vectorielle et que $X$ commute avec $A$, alors $D$ est stable par $X$, et donc un vecteur $v$ engendrant $D$ est vecteur propre pour $X$. Et si $\lambda$ est la valeur propre de $X$ associée à $v$, alors $D$ est la droite propre associée à la valeur propre $\lambda^2$ de $A$.

PS. Merci à Jean Lismonde pour son poisson d'Avril. Moi qui avait cru d'abord que son intervention était sérieuse !
PPS. Bon, je n'ai fait que redire ce qu'a déjà expliqué Bisam.

J'ai posé maintes fois un tel exercice en colle. Une fois que l'on avait vu que les matrices cherchées sont : $P\cdot Diag (\pm 1, \pm \sqrt 2, \pm \sqrt 3)\cdot P^{-1}$, la question finale était naturellement : combien cela fait-il de matrices-solutions ? Et là on voyait la faiblesse de la Combinatoire, même la plus rudimentaire, dans notre enseignement, car la réponse $8$ n'était pas automatique, les élèves lui préféraient parfois $6=3!$ ou $9=3^2$.
Bonne journée de 1er avril (Jeudi Saint 2021).
Fr. Ch.