Intégrale pour cette presque fin de semaine

C'est de la forme $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x \cos y) \sin y \ dx \ dy$ donc égale à $\int_0^1 \text{arctanh}\left(\sqrt{1-y^2}\right)f(y)dy$ avec $f(y)=\frac{2y^2}{\text{arctanh}\left(\sqrt{1-y^2}\right)}$

Bonjour, désolé si la question n'a pas lieu d'être mais je voudrais juste savoir si ce type d'intégrales est vu plutôt en Terminale en Spé Maths ou plutôt en MPSI/L1 ?
Merci d'avance,
Mohammed R.

C'est quoi comme bestiole arctanh ? ça se mange ?

e.v.

Un indication, une primitive de $x\to h(x)H(x)$ est $\frac 12 H²(x)$

@gebrane @Fin de Partie :
Oui, j'ai déjà vu ces formules, respectivement pour calculer notamment l'intégrale suivante : $A = \displaystyle \int_1^{e} \dfrac{\ln(x)}{x} dx.$
J'avais alors appris que si l'on notait $ u(x) = \ln(x)$, alors $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $A = \displaystyle \int_1^{e} u(x) \times u'(x) dx = \Big[\dfrac{u^2}{2}\Big]^{e}_{1} = \Big(\dfrac{\ln(e)^2}{2}\Big) - \Big(\dfrac{\ln(1)^2}{2}\Big) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{0}{2} = \dfrac{1}{2} $ et lorsque j'ai commencé à étudier les intégrales...
Ah c'est bon, en relisant je comprends mieux : je vais vous montrer ce que je pense pour savoir si j'ai tort dans mon raisonnement ou non : on a, quelle que soit la fonction $h$ continue sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, si l'on note une de ses primitives $H$, $\displaystyle \int_{0}^{x} h(t) dt = H(x) - H(0)$ ce qui revient à écrire, si on note $J$ l'intégrale que tu m'as proposée,
$$J= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x)\left(\int_{0}^{x} h(t) \,dt\right)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x)\left(H(x) - H(0) \right)dx = \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(x) dx \right) - \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(0) dx \right).
$$ Nous avons une intégrale avec $u' \times u$ dont une primitive est $\dfrac{u^2}{2}$ donc
\begin{align*}
J &=\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(x) dx \right) - \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(0) dx \right) \\
&=\left[ \dfrac{H^2}{2} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} - \left( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(0) dx \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \times \left( \left( H(\dfrac{\pi}{2}) \right)^{2} - \left( H(0) \right)^{2} \right) - \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(0) dx \right).
\end{align*} Si l'on note $B = H(0)$, on a
\begin{align*}
J &= \dfrac{1}{2} \times \left( \left( H(\dfrac{\pi}{2}) \right)^{2} - \left( H(0) \right)^{2} \right) - \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) \times H(0) dx \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \times \left( \left( H(\dfrac{\pi}{2}) \right)^{2} - \left( H(0) \right)^{2} \right) - \left( B \times \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} h(x) dx \right) \\
&= \dfrac{1}{2} \times \left( \left( H(\dfrac{\pi}{2}) \right)^{2} - \left( H(0) \right)^{2} \right) - \left(B \times \left( H(\dfrac{\pi}{2}) - H(0) \right) \right).
\end{align*} Je passe les calculs car ça me prendrait une heure pour les écrire en $\LaTeX$ mais toujours est-il que la dernière expression, est bien : $ J = \dfrac{1}{2}\left (H\left(\frac{\pi}{2}\right)-H\left(0\right)\right)^2$. Je vous remercie vivement pour cet exercice très stimulant intellectuellement et qui m'a beaucoup plu :-D.
Merci,
Mohammed R.

PS. N'hésitez pas à me dire si j'ai fait la moindre faute, qu'elle soit d'inattention ou, surtout, de rigueur.

Bonjour Mohammed R , puis-je savoir ton niveau d’études

@Fin de Partie :
Je suis désolé, j'ai (tenté de) corrigé(er) ce que j'ai fait, est-ce mathématiquement mieux ou bien dois-je encore changer certaines choses ?
Merci d'avance,
Mohammed R.

[J'ai changé ton message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2211930,2214100#msg-2214100 . Tu peux y voir les recommandations de FdP. AD]

Merci beaucoup AD !!!! Je vais examiner cela de plus près pour faciliter la tâche aux lecteurs les prochaines fois que j'écrirai...