Série entière f(x)> 0
Réponses
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Si $x$ est positif, je pense que tu peux y arriver.
Si $x$ est négatif, le terme général n'a-t-il pas une forme qui te rappelle quelque chose? -
Poisson d'avril aussi pour ce pour tout x réel ?Le 😄 Farceur
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Merci à toi mon ange pour ton lien ( en mp) qui résout la question, la question est difficile, je donne le lien au besoinLe 😄 Farceur
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$\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$A demon wind propelled me east of the sun
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gilles ce n'est pas comme ça que tu vas le démontrer, la question est difficile vu que j'ai une solution sous les yeuxLe 😄 Farceur
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je pensais que $\displaystyle \sqrt{\exp(2x) } \leq \sum_{n\geq0} \sqrt{\frac{x^{2n}}{n!}}$ mais cela ne marche que pour $x \geq 0$.
Edit: et de plus, cette inégalité est une trivialité.A demon wind propelled me east of the sun -
Une question plus facile, comment vous démontrez que $e^x>0,\forall x\in \R $ sachant que $e^x=\sum _{n\geq 0} \frac{x^n}{n!} $Le 😄 Farceur
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Le fait que $\exp$ est strictement positive sur $[0,\infty[$ est clair.
Pour $x$ négatif, on peut itérer le fait que $\exp(x-1) = \exp(x) / e$, et $e=\exp(1)>0$.
Bof! plutôt: pour $x>0$, $\exp(-x) =1/\exp(x)>0$.
Si on trouvait une équation fonctionnelle pour la fonction d'etanche, ça pourrait aider. J'ai pas mal essayé, sans trop de succès.Après je bloque. -
Ton indice, gebrane, n'est pas forcément hyper utile, vu que tu as a l'air d'indiquer une preuve mal connue (en tous cas peu connue de moi) de $e^x>0$ à partir de la série de Taylor...
Du coup, i.zitoussi cherche une équation fonctionnelle facile pour cette autre série, mais si elle était si facile, on nous l'aurait dite en terminale, probablement, non ?
Je pense que tu devrais détailler un peu ton indice, gebrane ! -
i.zitoussi pour l'expo parfait
Vraiment si quelqu'un trouve avec ces moyens personnels
alors bravo.
C'est une question fortement déconseillée pour les amateurs, réservée pour les hautes voltiges de ce forum et je sais de quoi je parleLe 😄 Farceur -
marsup je ne veux pas influencer votre pensée. C'est mieux sans indication. J'ai indiquée la solution à etanche. J'ai aucun mériteLe 😄 Farceur
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Pas trouvé d'équation fonctionnelle pour la fonction d'etanche, mais on a malgré tout:
$$
f(x)f(-x) = \sum_{n\geq 0}a_n\frac{x^n}{\sqrt{n!}}, \qquad \mathrm{avec} \quad
a_n = \sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}^{1/2}.$$
On déduit, $a_n>0$ pour $n$ pair, et $a_n=0$ pour $n$ impair.
Donc $f(x)f(-x)>0$ pour tout $x$, d'où le résultat, puisque pour $x>0$, $f(x)>0$.
A confirmer...
Edit: j'ai été un peu vite. Le fait que $a_n>0$ pour $n$ pair n'est pas si évident que ça... Problème intéressant.Après je bloque. -
Je confirme si tu prouves tes déductions
Bonne nuit, je m'aliteLe 😄 Farceur -
gebrane, d'après ce message, tu semblais avoir une preuve sous les yeux. Ça me rend curieux.Après je bloque.
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Guego (tu)Le 😄 Farceur
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Bonsoir ,
Dans le cas où x<0 , je croyais naîvement que pour toute série alternée vérifiant le critère spécial des séries alternées, la somme S de la série était encadrée par les sommes partielles (adjacentes) de rang pair et impair.
Deux sommes partielles strictement positives , S2(x) et S3(x) par exemple, suffiraient donc à prouver que S(x)>0 dans ce cas .
Où est l'erreur ?
Cordialement -
Il n'y a pas d'erreur. La question c'est : comment prouves-tu que, pour tout $x<0$, il y a deux sommes partielles consécutives strictement positives.
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J’espère qu'un haute voltige de chez nous trouve une autre preuve différente des celles dans MOLe 😄 Farceur
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Merci. Ça décoiffe.Après je bloque.
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Une somme mal évaluée et c'est raté :-)
Merci!!
PS/ désolé , je ne suis plus étanche , je prends l'eau .... je suis coulé ! -
Est-ce vain de chercher à faire de l’analyse pour résoudre cette question ? (dérivée, dérivée seconde, équation différentielle ou que sais-je encore...)
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Bizarrement, je ne me suis pas rappelé cet exercice qui était pourtant dans ma feuille d'exercices sur les intégrales impropres jusqu'à l'an dernier... et que j'avais enlevé parce qu'il n'aboutissait à rien d'intéressant.Pour $n\in\N$, on pose $\displaystyle v_n=\int_0^1\frac{1-t^n}{t (-\ln(t))^{3/2} } dt$. On pose également $\displaystyle f:t\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^n}{\sqrt{n!}}$ et $\displaystyle G:x\mapsto\int_0^1\frac{f(x)-f(tx)}{t (-\ln(t))^{3/2}} dt$.
- Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $\forall n\in\N,v_n=c\sqrt{n}$.
- Montrer que $f$ et $G$ sont définies sur $\R$ et que $\forall x\in\R,G(x)=cxf(x)$.
- Montrer que $\displaystyle c=2\int_0^{+\infty}\frac{1-e^{-t^2}}{t^2} dt=4\int_0^{+\infty}e^{-t^2} dt$.
Si on lui rajoute une question 2)bis ainsi :
il devient tout de suite plus intéressant !En déduire que $\forall x\in\R,f(x)>0$.
Indication : S'il existe $x\in\R$ tel que $f(x)\leq 0$, considérer $x_0=\max(\{x\in\R,f(x)=0\})$. -
Bonjour bisam, c'est quoi ce F dans GLe 😄 Farceur
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C'est $f$.
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Je dois faire l'exercice complètement mais pas maintenant. D'avance Bravo bisamLe 😄 Farceur
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Désolé, Gebrane, j'ai voulu adapter avec les notations du forum... et j'ai oublié quelques $F$.
Il me semble que c'est tiré d'un exercice d'oral de Polytechnique... mais je n'ai pas retrouvé la référence.
C'est moi qui ai ajouté la question numérotée 3, et il est possible que le candidat n'ait pas eu le temps d'arriver à la question 2bis, mais qu'elle ait été prévue par l'examinateur. -
Bonjour bisam, puis-je utiliser ta démonstration dans un forum pour gagner des points de réputations ?:-)Le 😄 Farceur
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Ce n'est rien d'autre qu'une des démos de MO postée plus haut.
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Guego, je voulais la mettre ici https://artofproblemsolving.com/community/c6h1143489p5382267
La preuve de bisam est mieux conçu avec ces étapes non?Le 😄 Farceur -
Que t’arrive-t-il gebrane à rechercher « des points de réputation » ?
Je n’y connais rien, ça offre quelque chose d’estimable ? -
Dom, oui ça permet d'avoir des privilèges et que lorsque on pose une question, les gens s' y intéressent.
Par exemple quand je pose une question ici , personne ne me dit gebrane qu'as tu essayé , qu'as tu fais ? :-DLe 😄 Farceur -
Ha oui ok.
En fait je comprends l’idée un peu mieux...
« Privilèges » de quel genre ? (Pardon je dévie mais pas pour longtemps)
Créer un fil ? Des trucs comme ça ?
Ça paraît dingue mais je n’y connais rien sur la pratique des forums, vraiment rien. -
Dom a écrit:Je n’y connais rien, ça offre quelque chose d’estimable ?
C'est bon pour l'égo. B-)-
Je vise les 10 000 points sur MathExchange. Quand je les aurais atteints je ne serais pas plus riche et je n'aurais marché sur la g... de personne. J'aime les compétitions dans lesquelles les perdants ne se retrouvent pas à dormir sous un pont. -
Dom, Je te donne un privilège pour comprendre. Sur ME quand une preuve de notre cher FDP me plait alors je peux l'archiver en latex avec le privilège accès en édition, je peux copier la source Latex de son messageLe 😄 Farceur
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Il faudrait que j'archive un jour tous ces messages. Je les tapais jusqu'à encore récemment directement dans l'interface $\LaTeX$ de MathExchange qui est un peu meilleure que celle du forum, sans jamais les archiver sur mon disque dur.
Puisqu'on parle de ça, si quelqu'un a déjà sous la main un script pour archiver des messages sur MathExchange cela m'évitera de l'écrire. Merci d'avance. B-)- -
Merci pour ces précisions.
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Gebrane, ce n'est pas ma preuve ! C'est celle de fedja sur Mathoverflow.
L'exercice était déjà sur tapé sur mon ordi... donc je n'ai fait que le copier ici (d'où l'erreur du $F$ qui ne voulait pas devenir $f$).
Bref, tu peux la réutiliser... je n'ai pas besoin de plus de réputation :)o
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