Primitive sans ipp ni ipcdv

gebrane
gebrane
dans Analyse
Bonjour,
Dans un devoir on demande de calculer sans ipp ni ipcdv une primitive de $\frac 1{\sqrt{x^2\pm a^2}}$
ipp intégration par parties
cdv intégration par changement de variable

Je ne l'ai jamais pensé , ça existe ?
Le 😄 Farceur


Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Si tu connais la dérivée de la fonction réciproque du sinus hyperbolique, il suffit de factoriser par $a$.
  • gebrane
    gebrane
    Mrj, on demande directement , on doit se ramener à $\int \frac {u'}u$ pour retrouver "la" primitive qu'on sait tous avec le log
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Bon, j'ai trouvé, il suffit d'utiliser la quantité conjuguée
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    Pourrais-tu écrire la relation que tu utilises s’il te plaît, parce que je n’arrive pas du tout à voir comment, utiliser la quantité conjuguée t’aide.
  • gebrane
    gebrane
    Mrj Voila comment j'ai fait :-D
    $\sqrt{x^2+ a^2}-x
    =\frac{a^2}{\sqrt{x^2+ a^2}+x}$ donc $\frac 1{\sqrt{x^2+ a^2}}
    =\frac 1{x+\frac{a^2}{\sqrt{x^2+ a^2}+x}}=
    \frac {\sqrt{x^2+ a^2}+x}{ x\sqrt{x^2+ a^2}+x^2+a^2}
    =\frac {1+\frac x{\sqrt{x^2+ a^2}}}{ x+\sqrt{x^2+ a^2}}=\frac{u'}u$

    On apprend chaque jours
    Le 😄 Farceur


  • MrJ
    MrJ
    Ce n’était pas totalement trivial. (:P)
    Merci!
  • gerard0
    gerard0
    C'est des maths de prestidigitateur !!

    J'aimerais savoir comment on peut penser à ces calculs tordus sans connaître à l'avance le résultat (calcul pas les méthodes refusées ou avoir déjà dérivé ce ln(u)). Rien n'est naturel ! Dans ce cas, magie pour magie, pourquoi ne pas prendre directement $u=x+\sqrt{x^2+ a^2}$, calculer $\frac{u'}u$ et trouver, oh surprise ! que c'est justement ce qu'on voulait intégrer ?

    Cordialement.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ gerard0
    Éternelle question, qui semble revendiquer que les solutions devraient être automatiques.
    Il y a des gens plus malins que d'autres. L'un d'eux y a pensé, et il l'a communiqué aux autres, et c'est à nous d'enregistrer.
  • P.
    P.
    Pourquoi d'ailleurs avoir interdit l'automatisme d'un des deux changements de variables canoniques $x=a\sinh t$ ou $x=a \tan t$? On doit enseigner la technique avant l'astuce.
  • Chaurien
    Chaurien
    Tout à fait d'accord avec P. C'est agaçant de toujours demander de traiter une question sans ceci ou sans cela. Ça peut se justifier si l'on veut traiter cette question dans un secteur d'enseignement où telle notion n'est pas au programme. Mais si l'on veut calculer des primitives, il est préférable de connaître l'intégration par parties et le changement de variable, qui ne sont tout de même pas très compliqués.
    Maintenant, j'ai quand même trouvé intéressant et pour ainsi dire amusant le procédé donné par Gebrane.
  • gebrane
    gebrane
    Il semble que le prof qui a donné cette question vise justement à éradiquer l'automatisme : la quantité conjuguée ne s'applique que sur des formes $\sqrt a-b $.
    ici ,
    on l'applique à la forme $\sqrt a $.

    Une autre question similaire. Calculer et sans les dl la limite de la suite u définie par $u_n=\sin (\pi\sqrt{n^2+1})$. On peut la traiter par la quantité conjuguée.
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Chaurien,

    tu as mal compris ce que j'écrivais : Quand il y a des méthodes élémentaires, proposer le calcul de Gebrane est de la désinformation. Je te parie que sur 1000 lycéens doués n'ayant jamais entendu parler des méthodes d'intégration autres que l'intégrale d'une dérivée, aucun n'aurait trouvé ce calcul; guidé par la connaissance de la réponse !! Tu peux remplacer 1000 par 10 000 ou 100 000, ça ne changerait rien. Alors que certains trouveront par essais et erreurs une primitive. Et là, je suis d'accord, "Il y a des gens plus malins que d'autres". Mais de là à trouver ce calcul !!

    J'ai toujours entrainé mes élèves à chercher et trouver des idées originales. Mais aussi à connaître les méthodes qui rendent certains calculs plus simples. L'un ne contredit pas l'autre.

    Cordialement.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour gebrane
    ta suite s'écrit $u_n = \sin[\pi\sqrt{n²+1} - \pi.n + \pi.n]$ soit encore :
    $u_n = (-1)^n \sin\dfrac{\pi}{\sqrt{n^2+1} + n}$ en utilisant la quantité conjuguée du numérateur de la fraction
    et donc $u_n$ est équivalent pour $n$ infini à $(-1)^n\sin\dfrac{\pi}{2n}$ dont la limite est nulle.
    Qui a dit que la limite de $\sin(x)$ pour $x$ infini ne pouvait pas être nulle ?

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    La question initiale du fil dit sans ipp, je trouve cela curieux (comme si une ipp ici est trivial) et puisque Gérard parle de 1000 ou 100000, moi je dis qu'il y a une personne et une seule qui peut résoudre la question initiale du fil par ipp. Bien sûr c'est FDP. Me trompe-je? :-D
    Le 😄 Farceur


  • P.
    P.
    Toujours un certain enervement devant cet exo. Car enfin, si je fais le changement de variable $x=a\sinh t$ je trouve
    $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=C+t= C+\log \frac{1}{a}u(x)$$ avec $u(x)=x+\sqrt{x^2+a^2}$, car j'ai appris en premiere annee a exprimer un argument de sinus hyperbolique par un logarithme. Et libre a moi ensuite de me pretendre astucieux en 'observant' $$\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}=\frac{u'(x)}{u(x)}.$$
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour P,

    Je ne comprends pas la source de cet énervement. Toi même dans un fil, tu nous a fait comprendre que libre à chacun d'utiliser les moyens de L1 car tu avais une méthode qui demande le profil L3. C’était une méthode probabiliste astucieuse (un truc d’Archimède). Je dis bien astucieuse.

    Tu as utilisé ensuite le mots : c'est ma préférée.

    Celui qui a posé ce devoir avait ses raisons pour lui, je soupçonne qu'il voulait montrer à ses étudiants de L1, la puissance de la quantité conjuguée vu en collège.

    Ce genre de questions avec méthodes restrictives sont les bienvenue sur le forum ME et les gens y trouvent le plaisir pour chercher et y répondre. Voici un exemple https://math.stackexchange.com/questions/665257/evaluating-int-frac1-sqrtx2-a2-dx-without-resorting-to-trigonome Calculer $\int \frac 1{\sqrt{x^2+a}}$ sans le recours à la trigonométrie.

    Je rappelle que ma question sur l'utilisation d'une ipp sans les ipcdv pour traiter la question $\int \frac 1{\sqrt{x^2+a}}$ est toujours d'actualité (j'ai utilisé un ton comique (seul FDP pourrait la trouver) pour stimuler).
    Le confinement commence donc tout ça c'est pour notre plaisir partagé.
    Le 😄 Farceur


  • aléa
    aléa
    Ca m'énerve toujours un peu ces exercices "sans utiliser la méthode A".
    Si le but est de montrer qu'il y a des cas où B marche mais pas A, il suffit de les montrer...
  • P.
    P.
    Mais gebrane, j'ai parfaitement trouvé $u$, me reproches-tu la méthode pas assez fatigante ?
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