Calcul d'une limite

Bonjour
Oui cela se calcule on trouve bien le résultat donné par dm974.
Pour cela on utilise la fonction Gamma et ses propriétés. Voir Wikipedia
En particulier le comportement asymptotique donnera comme limite
$$
\dfrac{1}{\Gamma (\tfrac{1}{2}-\tfrac{i \sqrt{3}}{2})\Gamma (\tfrac{1}{2}+\tfrac{i \sqrt{3}}{2})},

$$ et pour trouver l'expression en fonction de $\cosh$ il suffit d'utliser la formule de réflexion d'Euler.

Bonjour, le calcul est plus simple que prévu: si $P_n = \displaystyle n^2 \prod_{k=1}^n \dfrac{k^2-k+1}{k^2+k}$, on peut faire intervenir une définition de la fonction $\Gamma$:
$$
\dfrac{1}{\Gamma (s)} \; = \; \lim_{n\to \infty } \dfrac{ \textstyle \prod_{k=1}^n (s+k)}{n!} n^{-s}.

$$ On remarque :
1) $k^2 + k = k((k+1)$.
2) $k^2+k+1 = (k-j)(k-j^2) = (k-j) (k+1+j)$ avec $j = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Ensuite, $P_n = \displaystyle \dfrac{n^2}{n^2+n+1} \prod_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+1}{k^2+k}$, donc $\displaystyle \lim_{n\to \infty } P_n = \displaystyle \lim_{n\to \infty } \prod_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+1}{k^2+k}$.

On écrit :
$$
\displaystyle \prod_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+1}{k^2+k} \; = \; \prod_{k=1}^n \dfrac{ k+u}{k} \prod_{k=1}^n \dfrac{k+ \bar{u}}{k} \prod_{k=1}^n \dfrac{k}{k+1} ,

$$ avec $ u = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
On passe à la limite:
$$
P_n \sim \frac{1}{n} \dfrac{n^u}{\Gamma (u) } \dfrac{n^{\bar{u}}}{\Gamma (\bar{u}) } .

$$ Finalement: $ n^u n^{\bar{u}} = n$ et $\lim_{n\to \infty } P_n = \displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (u)\Gamma (\bar{u})} $
On utilise $\displaystyle \dfrac{1}{\Gamma (u)\Gamma (1-u)} \; = \; \dfrac{\sin (\pi u)}{\pi}$ et $1 - u = \bar{u}$ pour arriver à :
$$
\lim_{n\to \infty } P_n = \displaystyle \dfrac{\sin \left( \frac{\pi}{2} (1+ i\sqrt{3} ) \right)}{\pi} .

$$ Enfin: $ \sin \left( \frac{\pi}{2} (1+ i\sqrt{3} ) \right) = \cos \left( i \frac{\pi}{2} \sqrt{3} \right) = \cosh \left( \frac{\pi}{2} \sqrt{3} \right) $.

.

Pour les visiteurs, je corrige la coquille de @gilles benson
On a plutôt
$P_n = \displaystyle \dfrac{3n^2}{n^2+n+1} \prod_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+1}{k^2+k}$

C'est moi qui a commis l'erreur, je partais de
$\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k}$ trouble de vision au lieu de $\prod_{k=1}^{n}\frac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k}$
J'ai fait ce calcul
$\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k}
=\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k+1}\frac{k^{2}+k+1}{k^{2}+k}\\
=\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k+1}\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}+k+1}{k^{2}+k}\\
$

et $\prod_{k=2}^{n}\frac{k^{2}-k+1}{k^{2}+k+1}=\frac{\prod_{k=2}^{n}{k^{2}-k+1}}{\prod_{k=2}^{n}{k^{2}+k+1}}\\
=\frac{\prod_{k=2}^{n}{k^{2}-k+1}}{\prod_{k=3}^{n+1}{(k-1)^{2}+k-1+1}}\\
=\frac{\prod_{k=2}^{n}{k^{2}-k+1}}{\prod_{k=3}^{n+1}{k^{2}-k+1}}\\
=\frac 3{(n+1)^2-(n+1)+1}==\frac 3{n^2+n+1}
$

J'ai commencé un calcul que je n'ai pas terminé. Soit
$\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^{n}\dfrac{k^{2}+k+1}{k^{2}+k}$,
D'apres [size=x-large]Cauchy-Frullani[/size] $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}dx = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ donc

$\displaystyle \ln (u_n)=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-(k^2+k+1)x}-e^{-(k^2+k)x}}{x}\,dx\\
=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{+\infty}\mathcal{L}( {e^{-(k^2+k+1)x}-e^{-(k^2+k)x}})(s)ds\\
=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k^2+k+1+s}-\frac{1}{k^2+k+s}\right)\,ds $

Si on passe à la limite, on tombe sur $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\sum_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{k^2+k+1+s}-\frac{1}{k^2+k+s}\right)\,ds $
Apres j'ai abandonné vu que wolfram me donne cette expression compliquée https://www.wolframalpha.com/input/?i=\sum_{k=1}^{+\infty}+\left(\frac{1}{k^2+k+1+s}-\frac{1}{k^2+k+s}\right)

Je n'ai pas relu en détail mais en traversant, je constate que certains prennent $k^2+k+1$ ou $k^2-k+1$ mais je ne sais pas si c'est des coquilles. Je pense au dernier message de Gebrane par exemple.

ça m'apprendra à être paresseux et ne pas plonger dans les détails.

Merci Gilles.