Calcul quotient séries...

Il y a un équivalent simple de $g(r)$, c'est $\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{r}}$. Cela résulte d'une comparaison série-intégrale appliquée à $\sum_{n\ge0}h(nt)$ lorsque $t$ tend vers $0^+$, qui est équivalent à $\frac1t\int_0^{+\infty}h$ lorsque $h$ est positive, intégrable et décroissante sur $\R^+$.

La même technique pourrait marcher avec $k(t)=t\exp(-t^2)$, sauf qu'elle n'est pas décroissante « au début » mais ce n'est peut-être pas très grave. Des calculs numériques suggèrent que $f(r)\sim\frac{1}{2r}$, ce qui est cohérent avec $\frac1r\int_0^{+\infty}k$.

Bonjour,
Là où $k$ n'est pas décroissante, une somme de Riemann prend le relais.

Pour $f$, on voudrait introduire une fonction un peu plus précise du genre $\theta(t,x)=\sum_{n\in\Z}\mathrm{e}^{xn-tn^2}$ et dériver par rapport à $x$. Je ne sais pas du tout comment procéder. Même sans dériver par rapport à $x$, je suis bien embêté si par exemple $x$ est complexe. Sans doute la formule de sommation par parties si chère à noix de totos aiderait-elle.

Sans aller dans les détails, ça commence comme ça : \[S(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{n\in\N}\sqrt{x}n\mathrm{e}^{-\bigl(\sqrt{x}n\bigr)^2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{n\in\N}f\bigl(\sqrt{x}n\bigr)\]avec $f:t\mapsto t\exp(-t^2)$, qui admet un maximum en $1/\sqrt{2}$ sur $\R^+$. Pour $x>0$ fixé, on coupe la somme entre les $n$ plus petit que $N_x=\bigl\lfloor\frac1{\sqrt{2x}}\bigr\rfloor$ et les autres.

On compare la première somme à la somme de Riemann de $f$ pour la subdivision de pas $\sqrt{x}$ sur $\bigl[0,\frac1{\sqrt2}\bigr]$, ce qui donne \[\sum_{n=0}^{N_x}f\bigl(\sqrt{x}n\bigr)\sim\frac{N_x}{1/\sqrt2}\int_0^{1/\sqrt{2}}f(t)\mathrm{d}t.\] En utilisant la décroissance de $f$ sur $\left[\frac1{\sqrt2},+\infty\right[$, on compare chaque terme de la deuxième somme à \[\int_n^{n+1}f\bigl(\sqrt{x}t\bigr)\mathrm{d}t\quad\text{ou à}\quad
\int^n_{n-1}f\bigl(\sqrt{x}t\bigr)\mathrm{d}t,\] ce qui doit donner \[\sum_{n>N_x}f\bigl(\sqrt{x}n\bigr)\sim\int_{N_x}^{+\infty}f\bigl(\sqrt{x}t)\mathrm{d}t\sim \frac{1}{\sqrt{x}}\int_{1/\sqrt{2}}^{+\infty}f(t)\mathrm{d}t.\]