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Théorème de Bolzano-Weierstrass

FurinjiFurinji
dans Analyse
Quand, à partir de ma suite u bornée par les réels a et b, je construis deux ensembles G[small]0[/small] et D[small]0[/small] (d'intervalles [a,c] et [c,b] avec c = (a+b)/2), qu'est-ce qui me permet de conclure que l'un des deux ensembles est infini ?

Et ensuite avec G[small]1[/small] et D[small]1[/small] et G[small]2[/small] et D[small]2[/small], etc. puisqu'on fonctionne par récurrence ?

J'ai lu que puisque G[small]0[/small] U D[small]0[/small] = N alors l'un des deux ensembles est infini, mais je n'ai pas compris.

Autre point que je n'ai pas totalement compris :

On construit par récurrence une suite d'entier (n[small]k[/small]) k € IK et deux suites d'entiers (a[small]n[/small]) (b[small]n[/small]), vérifiant n[small]0[/small] =< n[small]1[/small] =< ... =< n[small]k[/small], a[small]0[/small] =< a[small]1[/small] =< ... =< a[small]k[/small] =< b[small]k[/small] =< ... =< b[small]1[/small] =< b[small]0[/small] et a[small]k[/small] =< u[small]nk[/small] =< b[small]k[/small]

Puisqu'on a (b[small]k[/small] - a[small]k[/small]) = (b[small]0[/small]- a[small]0)/[/small]2k on vérifie facilement qu'elles sont adjacentes et qu'elles convergent vers une même limite l.

Je pense avoir compris pour les deux suites a et b (intervalles de plus en plus petits et théorème des segments emboîtés) mais je n'ai pas compris d'où a été extraite la sous-suite u[small]nk[/small], on prend un terme d'un des deux intervalles (celui qui est infini) et l'ensemble de ces termes forment une sous-suite ?

Réponses

  • Math CossMath Coss
    Si $G_0$ et $D_0$ étaient finis, disons avec $m$ et $n$ éléments respectivement, alors $G_0\cup D_0$ serait fini, avec au plus $m+n$ éléments.
  • PoirotPoirot
    Tu aurais pu commencer par définir $G_0$ et $D_0$. Je devine qu'il s'agit respectivement de $\{n \in \mathbb N \mid u_n \in [a, c]\}$ et $\{n \in \mathbb N \mid u_n \in [c, b]\}$. S'ils étaient tous les deux finis alors $\mathbb N$ le serait aussi, c'est assez clair non ? Comme ce n'est pas le cas, au moins l'un des deux est infini. L'argument est le même à chaque étape.

    Oui c'est ça pour le deuxième point. À chaque étape, on choisit un indice $n_k$ plus grand que les précédents de sorte que $u_{n_k}$ appartienne à un intervalle convenable. Comme on choisit les indices de plus en plus grand, la suite $(n_k)_k$ est une extractrice, et $(u_{n_k})_k$ est une sous-suite de $(u_n)_n$.
  • FurinjiFurinji
    Ah oui je suis bête, si les deux étaient finis, la suite (u[small]n[/small]) le serait aussi, c'est ça ?

    Et du coup le choix des (u[small]nk[/small]) est arbitraire ? Je prends n'importe quel terme de [ak,bk] ?

    Et comme lim n--> oo b(n)-a(n) = 0 et que an =< ukn =< bn on a extrait une sous-suite convergeant vers l (théorème des gendarmes) ?

    Veuillez m'excuser pour le manque de rigueur
  • PoirotPoirot
    Ce n'est pas la suite $(u_n)_n$ qui serait finie, mais plutôt l'ensemble de ses indices, en l'occurrence $\mathbb N$, qui le serait.

    Oui le choix est arbitraire, tant qu'il satisfait le cahier des charges de la construction !

    Oui, c'est une application du théorème des gendarmes.
  • FurinjiFurinji
    Merci, je vois !

    Et puisque le choix des u(nk) est arbitraire (à condition que l'indice du terme choisi soit supérieur à celui de u(nk-1), qu'en sera-t-il du terme général de la sous-suite extraite ?
  • PoirotPoirot
    Il faudrait que tu précises ta question, je ne sais pas ce que tu veux dire par "qu'en sera-t-il ?".
  • FurinjiFurinji
    Comment s'assurer qu'une relation de récurrence existe entre les termes arbitrairement choisis de ma suite pour former ma sous-suite ?
  • PoirotPoirot
    Il n'y a aucune histoire de relation de récurrence, d'où te vient cette idée ? Je t'invite à relire la définition de suite extraite.
  • FurinjiFurinji
    Je m'exprime mal et n'aurais pas dû parler de relation de récurrence. Ce que je voulais dire c'est qu'on peut définir le terme général d'une suite (u[small]n[/small]), avec une définition qui rappelle celle des fonctions usuelles (à ma connaissance).

    Ma question était : comment établir le terme général de la sous-suite extraite à partir d'éléments choisis "aléatoirement" puisqu'on peut choisir n'importe lesquels.

    En fait je m'imagine un ensemble de points dans un répère, et il faudrait donc établir une courbe strictement croissante passant par ces points et se rapprochant asymptotiquement de la droite y = l, mais ces points ont été arbitrairement choisis, je fais fausse route ?
  • christophe cchristophe c
    Bon, il t'a été répondu, mais si tu veux une façon plus "digeste" (pour une suite de réels bornée) de marbrer dans ta psyché l'existence de sous-suite convergente, je te recommande de prouver que de toute suite de réels tu peux extraire une sous-suite monotone. Ce n'est pas dur, et ça te donne un autre angle de vue.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gerard0gerard0
    Bonjour Furinji.

    "... Ce que je voulais dire c'est qu'on peut définir le terme général d'une suite (un), avec une définition qui rappelle celle des fonctions usuelles (à ma connaissance)."
    Tu veux dire une relation fonctionnelle $u_n=f(n)$ avec f construite à partir de quatre opérations et des fonctions élémentaires ? Alors non, d'ailleurs les fonctions n'ont pas nécessairement des écritures de ce type (prends la fonction f telle que f(x)=1 si x est rationnel et f(x)=0 si x est irrationnel). Il n'y a aucune raison pour que la définition de $u_n$ en fonction de n soit simple. Il y a même des sites dédiés, comme OEIS.

    Si je t'ai mal compris, précise ton propos.

    Cordialement.
  • PoirotPoirot
    Furinji a écrit:
    comment établir le terme général de la sous-suite extraite à partir d'éléments choisis "aléatoirement" puisqu'on peut choisir n'importe lesquels.

    Tu n'as pas besoin d'une formule pour définir une suite. Ici il s'agit d'une construction par récurrence. En supposant $u_{n_1}, \dots, u_{n_k}$ construits, on sait qu'il existe un entier $n$ tel que $n > n_k$ et $u_n$ appartient à l'un des deux parmi $G_{k+1}$ et $D_{k+1}$ qui est infini. On pose alors $u_{n_{k+1}} = u_n$ et on continue.
  • SERGE_SSERGE_S
    @ Furinji : pour pouvoir justifier que l'ensemble des valeurs qu'on construit par récurrence constituent bien une suite il faut faire référence à l'axiome du choix (dans sa version dénombrable). Ca c'est un aspect qui n'est pas touché dans les classes L1-L2, et les programmes de prépa mpsi/mp.
    Il y a plein de situations en analyse (problèmes de L1) où l'axiome du choix est nécessaire, mais par pédagogie on ne le cite jamais faisant croire aux étudiants qu'il suffit de noter un ensemble de valeurs arbitraires (u0, u1, u2, ....) pour qu'ils constituent effectivement une suite.

    Exemple : Soit A = sup ]0, 1[. Démontrer en utilisant la caractérisation de la borne supérieure qu'il existe une suite d'éléments de ]0, 1[ qui converge vers A. La partie difficile est justement de démontrer l'existence de cette suite, et pour cela il faut l'axiome du choix. Sans l'axiome du choix la seule chose qu'on puisse dire c'est qu'on a construit un ensemble de nombres réels compris entre 0 et 1 et même si on ces valeurs sont notés u1, u2, u3, ..., un ce n'est qu'une notation et pas une démonstration du fait qu'ils constituent bien une suite.

    L'axiome du choix n'est pas nécessaire quand la construction des valeurs (à chaque étape) est unique. Mais c'est très rarement le cas c'est pour cela qu'il faut être conscient de cet axiome qui n'est pas plus difficile à comprendre/apprendre que les autres qui forment la base de la théorie naive des ensembles.
  • FurinjiFurinji
    Merci à tous pour vos réponses !
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