Théorème de Bolzano-Weierstrass
Quand, à partir de ma suite u bornée par les réels a et b, je construis deux ensembles G[small]0[/small] et D[small]0[/small] (d'intervalles [a,c] et [c,b] avec c = (a+b)/2), qu'est-ce qui me permet de conclure que l'un des deux ensembles est infini ?
Et ensuite avec G[small]1[/small] et D[small]1[/small] et G[small]2[/small] et D[small]2[/small], etc. puisqu'on fonctionne par récurrence ?
J'ai lu que puisque G[small]0[/small] U D[small]0[/small] = N alors l'un des deux ensembles est infini, mais je n'ai pas compris.
Autre point que je n'ai pas totalement compris :
On construit par récurrence une suite d'entier (n[small]k[/small]) k € IK et deux suites d'entiers (a[small]n[/small]) (b[small]n[/small]), vérifiant n[small]0[/small] =< n[small]1[/small] =< ... =< n[small]k[/small], a[small]0[/small] =< a[small]1[/small] =< ... =< a[small]k[/small] =< b[small]k[/small] =< ... =< b[small]1[/small] =< b[small]0[/small] et a[small]k[/small] =< u[small]nk[/small] =< b[small]k[/small]
Puisqu'on a (b[small]k[/small] - a[small]k[/small]) = (b[small]0[/small]- a[small]0)/[/small]2k on vérifie facilement qu'elles sont adjacentes et qu'elles convergent vers une même limite l.
Je pense avoir compris pour les deux suites a et b (intervalles de plus en plus petits et théorème des segments emboîtés) mais je n'ai pas compris d'où a été extraite la sous-suite u[small]nk[/small], on prend un terme d'un des deux intervalles (celui qui est infini) et l'ensemble de ces termes forment une sous-suite ?
Et ensuite avec G[small]1[/small] et D[small]1[/small] et G[small]2[/small] et D[small]2[/small], etc. puisqu'on fonctionne par récurrence ?
J'ai lu que puisque G[small]0[/small] U D[small]0[/small] = N alors l'un des deux ensembles est infini, mais je n'ai pas compris.
Autre point que je n'ai pas totalement compris :
On construit par récurrence une suite d'entier (n[small]k[/small]) k € IK et deux suites d'entiers (a[small]n[/small]) (b[small]n[/small]), vérifiant n[small]0[/small] =< n[small]1[/small] =< ... =< n[small]k[/small], a[small]0[/small] =< a[small]1[/small] =< ... =< a[small]k[/small] =< b[small]k[/small] =< ... =< b[small]1[/small] =< b[small]0[/small] et a[small]k[/small] =< u[small]nk[/small] =< b[small]k[/small]
Puisqu'on a (b[small]k[/small] - a[small]k[/small]) = (b[small]0[/small]- a[small]0)/[/small]2k on vérifie facilement qu'elles sont adjacentes et qu'elles convergent vers une même limite l.
Je pense avoir compris pour les deux suites a et b (intervalles de plus en plus petits et théorème des segments emboîtés) mais je n'ai pas compris d'où a été extraite la sous-suite u[small]nk[/small], on prend un terme d'un des deux intervalles (celui qui est infini) et l'ensemble de ces termes forment une sous-suite ?
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Réponses
Oui c'est ça pour le deuxième point. À chaque étape, on choisit un indice $n_k$ plus grand que les précédents de sorte que $u_{n_k}$ appartienne à un intervalle convenable. Comme on choisit les indices de plus en plus grand, la suite $(n_k)_k$ est une extractrice, et $(u_{n_k})_k$ est une sous-suite de $(u_n)_n$.
Et du coup le choix des (u[small]nk[/small]) est arbitraire ? Je prends n'importe quel terme de [ak,bk] ?
Et comme lim n--> oo b(n)-a(n) = 0 et que an =< ukn =< bn on a extrait une sous-suite convergeant vers l (théorème des gendarmes) ?
Veuillez m'excuser pour le manque de rigueur
Oui le choix est arbitraire, tant qu'il satisfait le cahier des charges de la construction !
Oui, c'est une application du théorème des gendarmes.
Et puisque le choix des u(nk) est arbitraire (à condition que l'indice du terme choisi soit supérieur à celui de u(nk-1), qu'en sera-t-il du terme général de la sous-suite extraite ?
Ma question était : comment établir le terme général de la sous-suite extraite à partir d'éléments choisis "aléatoirement" puisqu'on peut choisir n'importe lesquels.
En fait je m'imagine un ensemble de points dans un répère, et il faudrait donc établir une courbe strictement croissante passant par ces points et se rapprochant asymptotiquement de la droite y = l, mais ces points ont été arbitrairement choisis, je fais fausse route ?
"... Ce que je voulais dire c'est qu'on peut définir le terme général d'une suite (un), avec une définition qui rappelle celle des fonctions usuelles (à ma connaissance)."
Tu veux dire une relation fonctionnelle $u_n=f(n)$ avec f construite à partir de quatre opérations et des fonctions élémentaires ? Alors non, d'ailleurs les fonctions n'ont pas nécessairement des écritures de ce type (prends la fonction f telle que f(x)=1 si x est rationnel et f(x)=0 si x est irrationnel). Il n'y a aucune raison pour que la définition de $u_n$ en fonction de n soit simple. Il y a même des sites dédiés, comme OEIS.
Si je t'ai mal compris, précise ton propos.
Cordialement.
Tu n'as pas besoin d'une formule pour définir une suite. Ici il s'agit d'une construction par récurrence. En supposant $u_{n_1}, \dots, u_{n_k}$ construits, on sait qu'il existe un entier $n$ tel que $n > n_k$ et $u_n$ appartient à l'un des deux parmi $G_{k+1}$ et $D_{k+1}$ qui est infini. On pose alors $u_{n_{k+1}} = u_n$ et on continue.
Il y a plein de situations en analyse (problèmes de L1) où l'axiome du choix est nécessaire, mais par pédagogie on ne le cite jamais faisant croire aux étudiants qu'il suffit de noter un ensemble de valeurs arbitraires (u0, u1, u2, ....) pour qu'ils constituent effectivement une suite.
Exemple : Soit A = sup ]0, 1[. Démontrer en utilisant la caractérisation de la borne supérieure qu'il existe une suite d'éléments de ]0, 1[ qui converge vers A. La partie difficile est justement de démontrer l'existence de cette suite, et pour cela il faut l'axiome du choix. Sans l'axiome du choix la seule chose qu'on puisse dire c'est qu'on a construit un ensemble de nombres réels compris entre 0 et 1 et même si on ces valeurs sont notés u1, u2, u3, ..., un ce n'est qu'une notation et pas une démonstration du fait qu'ils constituent bien une suite.
L'axiome du choix n'est pas nécessaire quand la construction des valeurs (à chaque étape) est unique. Mais c'est très rarement le cas c'est pour cela qu'il faut être conscient de cet axiome qui n'est pas plus difficile à comprendre/apprendre que les autres qui forment la base de la théorie naive des ensembles.