Point col et gradient
Bonjour
Est-ce que le gradient d’une fonction de deux variables réelles, à valeurs réelles, de classe C1 sur un ouvert est nécessairement nul en un point col de cet ouvert ?
Autrement dit, un point col est il nécessairement critique sur un ouvert ?
Avez-vous des contre-exemples si la réponse est non ?
Merci à vous.
Est-ce que le gradient d’une fonction de deux variables réelles, à valeurs réelles, de classe C1 sur un ouvert est nécessairement nul en un point col de cet ouvert ?
Autrement dit, un point col est il nécessairement critique sur un ouvert ?
Avez-vous des contre-exemples si la réponse est non ?
Merci à vous.
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Réponses
J’entendais par point col : un point ne présentant ni maximum, ni minimum local.
Et si je demande que la fonction présente un minium en suivant une direction, et un maximum en suivant une autre ?
Ce que je cherche à comprendre est la chose suivante. Lors de l’étude des extrema d’une fonction sur un ouvert, on recherche les points critiques et on fait le tri avec la matrice hessienne. On tombe donc parfois sur ce que vous me rappelez être un point col lorsque la hessienne a un déterminant <0. Je me demande donc si le fait que le gradient soit nul est nécessaire à la présence d’un point avec cette géométrie particulière de col comme la selle de cheval que tu me montres dans ton lien.
Si en effet le gradient n’est pas nul, alors les valeurs de f augmentent en suivant le gradient ce qui ne peut pas laisser apparaître cette allure de col.
J’ai une autre question du coup, est-ce qu’une fonction C1 admettant un unique point critique sur un ouvert qui n’est pas un point col admet un extremum global sur cet ouvert ?
Merci beaucoup.
En bricolant, c'est relativement facile de faire une fonction non bornée sur $\R^2$ qui a exactement deux points critiques qui sont des extrema locaux. Partant, il suffit d'enlever un voisinage d'un des points critiques pour obtenir un contre-exemple (on peut faire en sorte que le voisinage aille jusqu'à l'infini pour ne pas avoir « un trou » (i.e. pour avoir un ouvert simplement connexe).