Point col et gradient

CQG
CQG
dans Analyse
Bonjour

Est-ce que le gradient d’une fonction de deux variables réelles, à valeurs réelles, de classe C1 sur un ouvert est nécessairement nul en un point col de cet ouvert ?
Autrement dit, un point col est il nécessairement critique sur un ouvert ?
Avez-vous des contre-exemples si la réponse est non ?

Merci à vous.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Pour moi, un point col est un point critique où la hessienne a un déterminant $<0$ donc je ne comprends pas la question : qu'appelles-tu point col ?
  • Poirot
    Poirot
    Je suis d'accord avec Math Coss.
  • CQG
    CQG
    Bonjour

    J’entendais par point col : un point ne présentant ni maximum, ni minimum local.
  • Math Coss
    Math Coss
    Avec cette seule contrainte, le point $(1,1)$ serait un point col pour la fonction $f(x,y)=x$ (pour $t>0$, $f(x+t,y)>f(x,y)$ et $f(x-t,y)<f(x,y)$). Étrange, non ? Ou bien il faudrait revoir tes notions de topographie.
  • CQG
    CQG
    Ok.
    Et si je demande que la fonction présente un minium en suivant une direction, et un maximum en suivant une autre ?

    Ce que je cherche à comprendre est la chose suivante. Lors de l’étude des extrema d’une fonction sur un ouvert, on recherche les points critiques et on fait le tri avec la matrice hessienne. On tombe donc parfois sur ce que vous me rappelez être un point col lorsque la hessienne a un déterminant <0. Je me demande donc si le fait que le gradient soit nul est nécessaire à la présence d’un point avec cette géométrie particulière de col comme la selle de cheval que tu me montres dans ton lien.
  • marsup
    marsup
    Oui, un point où le gradient ne s'annule pas s'appelle un point régulier. C'est le contraire d'un point critique. Un point régulier n'est pas un point col. (c'est un point où "ça monte")
  • CQG
    CQG
    Je crois que je comprends mieux le sens de la définition de point col du coup.
    Si en effet le gradient n’est pas nul, alors les valeurs de f augmentent en suivant le gradient ce qui ne peut pas laisser apparaître cette allure de col.

    J’ai une autre question du coup, est-ce qu’une fonction C1 admettant un unique point critique sur un ouvert qui n’est pas un point col admet un extremum global sur cet ouvert ?

    Merci beaucoup.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je traduis ta question sur « un minium en suivant une direction, et un maximum en suivant une autre » de la façon suivante. Si, autour d'un point $m$, on peut tracer deux courbes $\gamma_i:\left]-a,a\right[\to\R^2$ dérivable telles que $\gamma_i(0)=m$, que $f\circ\gamma_i$ admet un extremum en $0$ et que $\gamma_1'(0)$ et $\gamma_2'(0)$ ne sont pas colinéaires, alors $m$ est un point critique de $f$. En effet, $\nabla f_m\cdot \gamma'_1(0)=0$ et $\nabla f_m\cdot \gamma'_2(0)=0$ et $(\gamma'_1(0),\gamma'_2(0))$ est une base de $\R^2$ donc $\nabla f_m=\vec0$.
  • Math Coss
    Math Coss
    Non, pas nécessairement.

    En bricolant, c'est relativement facile de faire une fonction non bornée sur $\R^2$ qui a exactement deux points critiques qui sont des extrema locaux. Partant, il suffit d'enlever un voisinage d'un des points critiques pour obtenir un contre-exemple (on peut faire en sorte que le voisinage aille jusqu'à l'infini pour ne pas avoir « un trou » (i.e. pour avoir un ouvert simplement connexe).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6

berty +5 Invités