Un problème d'analyse intéressant
dans Analyse
Bonjour
Je continue mon étude infatigable pour très bien apprendre l'analyse et là j'ai trouvé ce problème.
Soit $f,g\in C([0;1];\mathbf{R})$ et $$\int_{[0;1]}f(t){\rm d}t=\int_{[0;1]}g(t){\rm d}t=1.
$$ Soit $n\in \mathbf{N}$ ,prouvez qu'il existe $a,b\in [0;1],$ avec $a<b$, tel que $$\int_{[a;b]}f(t){\rm d}t=\int_{[a;b]}g(t){\rm d}t=\frac{1}{n}.
$$ Au début, je m'inquiétais de l'absence de l'hypothèse d'intégrabilité de Riemann, mais comme les fonctions sont continues, les fonctions sont intégrables de Riemann. Mais comment faire face à ce problème ?
Merci beaucoup à l'avance chers amis.
Je continue mon étude infatigable pour très bien apprendre l'analyse et là j'ai trouvé ce problème.
Soit $f,g\in C([0;1];\mathbf{R})$ et $$\int_{[0;1]}f(t){\rm d}t=\int_{[0;1]}g(t){\rm d}t=1.
$$ Soit $n\in \mathbf{N}$ ,prouvez qu'il existe $a,b\in [0;1],$ avec $a<b$, tel que $$\int_{[a;b]}f(t){\rm d}t=\int_{[a;b]}g(t){\rm d}t=\frac{1}{n}.
$$ Au début, je m'inquiétais de l'absence de l'hypothèse d'intégrabilité de Riemann, mais comme les fonctions sont continues, les fonctions sont intégrables de Riemann. Mais comment faire face à ce problème ?
Merci beaucoup à l'avance chers amis.
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Réponses
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Prouver qu'il existe ...
Le a et le b dépendent de $n$, alors que ton énoncé laisse entendre qu'ils sont indépendants de $n$.
Edit : j'avoue... J'étais allé trop vite ^^
Bien sûr.
J'envoie ceci sans avoir achevé le calcul, mais j'ai bien l'impression.que c'est un contre-exemple pour $n=2$.
On peut trouver un voisinage $V_0$ de $x_0$ tel que $\int_{V_0}H=0 $ et $|\int_{V_0}f|\le \epsilon$ pour tout $\epsilon>0$.
Continuant ainsi de $x_0$ à $0$ (gauche), on récupère des voisinages $V_i$ tel que
$\int_{V_i}H=0 $ mais $\int_{V}f=1$ si $V=[0,1]$ par le théorème des valeurs intermédiaires on aura le résultat.
Sauf erreur là.
Cordialement.
Je n'ai pas eu l'idée. Avant d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, je ne vois pas comment à partir de là on obtient qu'à un moment donné la somme des intégrales soit $1$.
Pour ta question... laquelle ?
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0;1]$ avec $\int_{[0;1]}f=\int_{[0;1]}g=1$.
Soit $0<\epsilon<1/2$ ( Edit )
Prouver l'existence d'un intervalle $V$ dans $[0;1]$ tel que $$\int_Vf=\int_V g=\epsilon.
$$ On sait que $\int_{[0;1]}(f-g)=\int_{[0;1]}H =0$.
1) Il existe un $x_0$ tel que $H(x_0)=0$ et un voisinage $V_0=[x_0-a;x_0+a]$ tel que $H(x)$ sur $[x_0-a;x_0]$ a le signe contraire que $H(x)$ sur $[x_0;x_0+a]$. (Le choix de $x_0$ est specifique).
2) Pour tout $x_0>v>0$ soit $V_v$ l'intervalle $[x_0-v;x_0+u] \subset [0;1]$ tel que $\int_{V_v}H=0$ ici clairement $\int_{V_v}f=\int_{V_v}g$.
3) Pour tout $\eta$ petit on peut choisir $V_{v_{\eta}}$ tel que aussi $|\int_{V_{v_{\eta}}}f|<\eta$.
4) $\int_{[0;1]}f=1.$
5) la fonction $v\to \int_{V_v} f$ est continue.
Elle est à valeurs dans $[\eta;1]$. Par le théorème des valeurs intermédiaires elle passe par $\epsilon$.
Cordialement.
C'est une question olympiade?
Cordialement
$F(x)=\int_0^xf(t)dt$ et $G(x)=\int_0^xg(t)dt$ sont continues et strictement croissantes.
Soit $x_k=F^{-1}(k/n)$ et $y_k=G^{-1}(k/n)$ pour $0\leq k\leq n$.
On définit $\varphi(x)=F^{-1}(F(x)+1/n)$ pour $x\leq x_{n-1}$ et $\psi(x)=G^{-1}(G(x)+1/n)$ pour $x\leq y_{n-1}$.
$\varphi$ et $\psi$ sont continues et croissantes. De plus, $\varphi(x_k)=x_{k+1}$ et $\psi(y_k)=y_{k+1}$.
Soit $h(x)=\psi(x)-\varphi(x)$. S'il existe $x$ tel que $\psi(x)=\varphi(x)$ on prend $a=x$ et $b=\psi(x)$.
Sinon, on a par exemple $h(x)>0$ pour tout $x$. On en déduit : $x_1<y_1$ puis par récurrence :
$x_k<y_k$ entraine $x_{k+1}=\varphi(x_k)<\psi(x_k)<\psi(y_k)=y_{k+1}$. On en déduit $1=x_n<y_n=1$ : contradiction.