Un problème d'analyse intéressant

Quantificateur sur $n$ ?

Trouve la et on verra :-D

L'énoncé est faux de toute manière.... Il suffit de prendre $f=1$ et $g : x\mapsto 2x$ sur $[0,1]$ pour s'en rendre compte...
Edit : j'avoue... J'étais allé trop vite ^^

Pour $x \in [0,1]$, soit $f(x)=2-2x$, $g(x)=1+\pi \cos \pi x$.
J'envoie ceci sans avoir achevé le calcul, mais j'ai bien l'impression.que c'est un contre-exemple pour $n=2$.

Le $\frac 1n$ m'a fait penser au théorème de la corde universelle, mais je n'arrive pas à faire le lien.

La preuve que je crois juste. Edit (Elle est incomplète)


Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0;1]$ avec $\int_{[0;1]}f=\int_{[0;1]}g=1$.
Soit $0<\epsilon<1/2$ ( Edit )
Prouver l'existence d'un intervalle $V$ dans $[0;1]$ tel que $$\int_Vf=\int_V g=\epsilon.

$$ On sait que $\int_{[0;1]}(f-g)=\int_{[0;1]}H =0$.
1) Il existe un $x_0$ tel que $H(x_0)=0$ et un voisinage $V_0=[x_0-a;x_0+a]$ tel que $H(x)$ sur $[x_0-a;x_0]$ a le signe contraire que $H(x)$ sur $[x_0;x_0+a]$. (Le choix de $x_0$ est specifique).
2) Pour tout $x_0>v>0$ soit $V_v$ l'intervalle $[x_0-v;x_0+u] \subset [0;1]$ tel que $\int_{V_v}H=0$ ici clairement $\int_{V_v}f=\int_{V_v}g$.
3) Pour tout $\eta$ petit on peut choisir $V_{v_{\eta}}$ tel que aussi $|\int_{V_{v_{\eta}}}f|<\eta$.
4) $\int_{[0;1]}f=1.$
5) la fonction $v\to \int_{V_v} f$ est continue.
Elle est à valeurs dans $[\eta;1]$. Par le théorème des valeurs intermédiaires elle passe par $\epsilon$.

Cordialement.

Je me place dans le cas plus simple où l'on a de plus $f>0$ et $g>0$.

$F(x)=\int_0^xf(t)dt$ et $G(x)=\int_0^xg(t)dt$ sont continues et strictement croissantes.

Soit $x_k=F^{-1}(k/n)$ et $y_k=G^{-1}(k/n)$ pour $0\leq k\leq n$.

On définit $\varphi(x)=F^{-1}(F(x)+1/n)$ pour $x\leq x_{n-1}$ et $\psi(x)=G^{-1}(G(x)+1/n)$ pour $x\leq y_{n-1}$.

$\varphi$ et $\psi$ sont continues et croissantes. De plus, $\varphi(x_k)=x_{k+1}$ et $\psi(y_k)=y_{k+1}$.

Soit $h(x)=\psi(x)-\varphi(x)$. S'il existe $x$ tel que $\psi(x)=\varphi(x)$ on prend $a=x$ et $b=\psi(x)$.

Sinon, on a par exemple $h(x)>0$ pour tout $x$. On en déduit : $x_1<y_1$ puis par récurrence :

$x_k<y_k$ entraine $x_{k+1}=\varphi(x_k)<\psi(x_k)<\psi(y_k)=y_{k+1}$. On en déduit $1=x_n<y_n=1$ : contradiction.