Géodésiques sur cylindre
Bonjour
Si on considère le cylindre de rayon 1, on veut savoir si la section plane par le plan z=x paramétrée en longueur d'arc est une géodésique ou non.
Je n'arrive déjà pas à trouver une paramétrisation par longueur d'arc de la section plane ...
Il faudrait ensuite que je montre que l'accélération est normale au plan tangent du cylindre, mais sans paramétrisation je ne peux pas ...
Merci d'avance.
Si on considère le cylindre de rayon 1, on veut savoir si la section plane par le plan z=x paramétrée en longueur d'arc est une géodésique ou non.
Je n'arrive déjà pas à trouver une paramétrisation par longueur d'arc de la section plane ...
Il faudrait ensuite que je montre que l'accélération est normale au plan tangent du cylindre, mais sans paramétrisation je ne peux pas ...
Merci d'avance.
Réponses
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« Le » cylindre de rayon $1$ ?
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un cylindre d'équation $x^2+y^2=1$ ...
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Bonjour,
Le cylindre, tu peux le découper suivant une génératrice et l'aplatir sur un plan, en conservant la métrique. La section plane que tu considères va-t-elle donner un segment de droite une fois aplatie ? -
bonjour,
si on déroule le cylindre, comme la section plane est un cercle, oui ça ferait une droite... -
Le plan qui coupe ton cylindre n'est pas orthogonal à l'axe. Tu es vraiment sûr que quand tu déroules, la section plane va donner un segment de droite ?
Et es-tu sûr que cette section plane est un cercle ? -
J’aurais dit que c’était un cercle oui, j’ai vraiment du mal avec la visualisation dans l’espace
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Quand tu coupe un saucisson à l'ail en biais, le bord de la tranche est un cercle ??
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Bon exemple :-)
Non effectivement c’est une sorte d’ovale ...
Mais du coup pour mon problème de géodésique qu’est-0ce que cela signifie ? -
il est un peu tôt pour le saucissonA demon wind propelled me east of the sun
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Il n'y a pas d'heure pour les braves.
Pour en revenir au problème des géodésiques sur le cylindre, les seules sections planes du cylindre qui sont des géodésiques sont par des plans orthogonaux à l'axe du cylindre.
Si tu traces trace un grand trait droit sur une feuille de papier que tu enroules autour de ton saucisson à l'ail, quelle courbe de l'espace obtiens-tu ? -
J'ai enroulé une feuille de papier autour de mon saucisson à l'ail, j'ai coupé le saucisson enveloppé en biais, j'ai déroulé le papier autour d'un des morceaux et voila ce que j'ai obtenu. Tu peux l'expliquer ?
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Question subsidiaire : quel est le diamètre du saucisson de GaBuZoMeu ?
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Je peux l’expliquer par le fait qu’une tranche a été mangée :-).
Non plus sérieusement, je ne saurais comment expliquer ce phénomène :-( La géométrie dans l’espace est ma bête noire ...
Il n’y a pas un moyen d’arriver au résultat par des calculs, en calculant par exemple le produit vectoriel d’une certaine courbe avec un vecteur normal ? -
Fais l'expérience pour de vrai ! Tu disposes bien d'une feuille de papier et d'une paire de ciseaux, non ?
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Hum, couper un cylindre par un plan est vieux non pas comme Hérode mais plutôt comme Apollonius de Perge (260 av JC- 190 av JC).A demon wind propelled me east of the sun
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Et sinon, et sauf erreur de calcul, l'équation de l'intersection du plan et du cylindre dans un repère orthonor... relatif au plan peut être $ \frac{1}{2}X^2 + Y^2 = 1$A demon wind propelled me east of the sun
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Oui j’ai fait sur une feuille, je trouve évidement la courbe donnée précédemment, mais je ne vois pas mieux quoi en conclure pour les géodésiques.
Je sais que les géodésiques du cylindre sont de la forme (rcos t, rsin t, à+bt), c’est pour cela que j’aimerais faire des calculs avec la section plane mais je ne vois pas comment ... -
Le plan osculateur d'une section plane n'est pas difficile à trouver. Si ?
Est-ce que ce plan osculateur est perpendiculaire au cylindre en tout point ? -
il ne l'est que si z=0 non?
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Et donc ?
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donc on n'a une géodésique que si z=0 ?
mais n'y a-t-il pas un moyen de le prouver par le calcul ? -
Ça n'a pas de sens d'écrire "on n'a une géodésique que si z=0". Une section plane n'est pas une géodésique (sauf si le plan est orthogonal ou parallèle à l'axe), point barre.
La considération du plan osculateur fournit une preuve complète.
S'il te faut un calcul pour ton confort psychologique, tu peux partir de la paramétrisation $(\cos(t),\sin(t),\cos(t))$, calculer la composante normale de l'accélération et voir si elle est orthogonale au plan tangent. -
D'accord je vois, merci beaucoup pour votre aide !
Bon après-midi -
fifi tu peux voir dans ce fil si ça peut aider les représentations paramétriques des géodésiques du cylindre de révolution
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/737828-geodesiques-dun-cylindre-and-dun-helicoide.htmlLe 😄 Farceur
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