Produit de fonctions périodiques
Bonjour,
Une question que je me suis posée, à laquelle je n'ai pas (encore) de réponse : on considère deux fonctions $g$ et $h$, continues par morceaux, périodiques, de périodes respectives $T$ et $T'$, avec $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$. On suppose que $g$ et $h$ sont de valeurs moyennes nulles sur leurs périodes respectives. La fonction $F:x\mapsto \displaystyle \int_0^x g(t)h(t)dt$ est-elle bornée ?
C'est faux si $\dfrac{T}{T'}\in \Q$ car, dans ce cas, on peut trouver une période commune et construire assez facilement des contre-exemples. Par contre, si $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$, j'ai l'impression que ça marche, mais sans pouvoir le prouver.
Une question que je me suis posée, à laquelle je n'ai pas (encore) de réponse : on considère deux fonctions $g$ et $h$, continues par morceaux, périodiques, de périodes respectives $T$ et $T'$, avec $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$. On suppose que $g$ et $h$ sont de valeurs moyennes nulles sur leurs périodes respectives. La fonction $F:x\mapsto \displaystyle \int_0^x g(t)h(t)dt$ est-elle bornée ?
C'est faux si $\dfrac{T}{T'}\in \Q$ car, dans ce cas, on peut trouver une période commune et construire assez facilement des contre-exemples. Par contre, si $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$, j'ai l'impression que ça marche, mais sans pouvoir le prouver.
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Réponses
Pour tout $t$, lorsque $n$ tend vers l'infini, $\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)$ tend vers $\frac{n}{T'}$ fois l'intégrale de $h$, qui est nulle, d'où la difficulté...
Mais cela prouve que $\frac{F(nT)}{n}$ tend vers $0$, lorsque $n$ tend vers l'infini
Ensuite, si $F$ était bornée quelque soient $g$, $h$ vérifiant les hypothèses par Banach-Steinhaus on aurait en fait une majoration uniforme
$$\int_0^x g(t)h(t)dt \leq C ||g||_\infty ||h||_\infty,
$$ pour une certaine constante $C>0$, valable pour tout $x$.
Le calcul de Corto donne alors pour tout $n$ :
$$\int_0^Tg(t)\Big(\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)\Big)dt \leq C ||g||_\infty ||h||_\infty.
$$ On peut alors prendre le $\sup$ sur $g$ et ça donne
$$
\int_0^T\bigg|\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)\bigg| dt \leq C ||h||_\infty,
$$ valable pour tout $h$ continue, $T'$-periodique, d'intégrale nulle. Supposons sans perte de généralité $T'=2\pi$ et prenons $h(t)=e^{i p t}$ pour $p$ entier non nul. Ça donne
$$T\left|\frac{1-e^{ipnT}}{1-e^{ipT}}\right | \leq C.
$$ En prenant la limite en moyenne de Cesàro sur $n$, on déduit
$$\frac{T}{|1-e^{ipT}|} \leq C,
$$ uniformément en $p$, ce qui est absurde car $pT$ peut être rendu arbitrairement proche de 0 modulo $2\pi$
Conclusion : l'énoncé est faux.
Est-ce que tu es d'accord que $\frac{F(x)}{x}$ tend vers $0$, quand $x$ tend vers l'infini ? Je ne l'ai pas montré rigoureusement.
Pour $g(t)=e^{\frac{2i\pi pt}{T}}$ et $h(t)=e^{\frac{2i\pi qt}{T'}},$ on a $g(t)h(t)=e^{i\alpha t},$ où $\alpha=2\pi\left(\frac{p}{T}+\frac{q}{T'}\right)$, et l'inégalité donne alors $\left|\frac{e^{i\alpha x}-1}{\alpha}\right|\leq C$. En optimisant en $x$ on déduit que $\frac{2}{|\alpha|}\leq C$, autrement dit $\left|\frac{p}{T}+\frac{q}{T'}\right|\geq \mbox{Const}$, ce qui est absurde par densité du sous-groupe.
Est-ce que tu démontres que $x\mapsto \int_0^x g(t)h(t)dt,\ $ pour $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$ ne peut pas être bornée ?
Dans le sens qu'il existe $g$ et $h$ tel que ce n'est pas borné. Je ne les explicite pas cependant.
Si on veut un contre-exemple explicite je pense qu'il faut prendre deux fonctions dont les coefficients de Fourier décroissent lentement (pour ne pas compenser les petits diviseurs dont parlait math2)
Avec des hypothèses supplémentaires on peut obtenir des résultats positifs. Exemple:
Si $T=1$, $T'=\sqrt{2}$ et $g$, $h$ assez régulières, disons $C^1$, alors $F$ est nécessairement bornée.