Produit de fonctions périodiques

Guego · April 2021

Bonjour,

Une question que je me suis posée, à laquelle je n'ai pas (encore) de réponse : on considère deux fonctions $g$ et $h$, continues par morceaux, périodiques, de périodes respectives $T$ et $T'$, avec $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$. On suppose que $g$ et $h$ sont de valeurs moyennes nulles sur leurs périodes respectives. La fonction $F:x\mapsto \displaystyle \int_0^x g(t)h(t)dt$ est-elle bornée ?

C'est faux si $\dfrac{T}{T'}\in \Q$ car, dans ce cas, on peut trouver une période commune et construire assez facilement des contre-exemples. Par contre, si $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$, j'ai l'impression que ça marche, mais sans pouvoir le prouver.

AlainLyon · April 2021

Il me semble que les périodisées des crénaux sinusoïdaux de périodes $T$ et $T'$ génèrent tous les exemples ou contre-exemples et que la clé des calculs est d'utiliser des transformées en ondelettes..

marco · April 2021

$F(nT)=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^Tg(t)h(t+kT)dt=\int_0^T g(t)[\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)]dt$.

Pour tout $t$, lorsque $n$ tend vers l'infini, $\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)$ tend vers $\frac{n}{T'}$ fois l'intégrale de $h$, qui est nulle, d'où la difficulté...

Mais cela prouve que $\frac{F(nT)}{n}$ tend vers $0$, lorsque $n$ tend vers l'infini

AlainLyon · April 2021

En utilisant la densité du groupe $nT+mT'$ (avec $(n,m)\in\mathbb{Z}^2$ dans $\mathbb{R}$ on approche tout réel par la somme d'un entier $n$ et du produit d'un rationnel par $T/T'$, l'ensemble de ces produits est encore un groupe dense dans $\mathbb{R}$...

Namiswan · April 2021

Remarquons premièrement qu'il suffit que l'une des deux fonctions soit d'intégrale nulle, disons $h$, car alors $\int_0^x h(t)dt$ est borné.
Ensuite, si $F$ était bornée quelque soient $g$, $h$ vérifiant les hypothèses par Banach-Steinhaus on aurait en fait une majoration uniforme
$$\int_0^x g(t)h(t)dt \leq C ||g||_\infty ||h||_\infty,
$$ pour une certaine constante $C>0$, valable pour tout $x$.
Le calcul de Corto donne alors pour tout $n$ :
$$\int_0^Tg(t)\Big(\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)\Big)dt \leq C ||g||_\infty ||h||_\infty.

$$ On peut alors prendre le $\sup$ sur $g$ et ça donne
$$
\int_0^T\bigg|\sum_{k=0}^{n-1}h(t+kT)\bigg| dt \leq C ||h||_\infty,
$$ valable pour tout $h$ continue, $T'$-periodique, d'intégrale nulle. Supposons sans perte de généralité $T'=2\pi$ et prenons $h(t)=e^{i p t}$ pour $p$ entier non nul. Ça donne
$$T\left|\frac{1-e^{ipnT}}{1-e^{ipT}}\right | \leq C.

$$ En prenant la limite en moyenne de Cesàro sur $n$, on déduit
$$\frac{T}{|1-e^{ipT}|} \leq C,
$$ uniformément en $p$, ce qui est absurde car $pT$ peut être rendu arbitrairement proche de 0 modulo $2\pi$

Conclusion : l'énoncé est faux.

marco · April 2021

Merci Namiswan. J'écris car je n'avais pas bien compris. On peut supposer seulement $h$ d'intégrale nulle car, si $g$ n'est pas d'intégrale nulle, alors $k=g-\frac{1}{T}\int_0^Tg(t)dt$ l'est. Et $\int_0^x kh$ est bornée ssi $\int_0^x gh$ est bornée, car $\int_0^x h$ est bornée.

Est-ce que tu es d'accord que $\frac{F(x)}{x}$ tend vers $0$, quand $x$ tend vers l'infini ? Je ne l'ai pas montré rigoureusement.

Namiswan · April 2021

Oui c'est vrai dans le cas où $T$ et $T'$ sont indépendants sur $\Q$. L'équidistribution des $kT$ modulo $T'$ donne effectivement que $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} h(t+kT)$ tend uniformément vers l'intégrale de $h$ qui est nulle. Par suite ton calcul montre que $F(x)/x$ tend vers $0$ le long de la suite $x_n=nT$, puis on conclut que ça tend vers $0$ tout court en approchant $F(x)$ par un bon $F(nT)$.

marco · April 2021

Merci !

math2 · April 2021

Un petit complément : noter au moins que si g et h sont continues, leur produit sera presque périodique au sens de H. Bohr et donc leurs primitives sont bornées si et seulement si elles sont presque-périodiques. Or, de la relation de Parseval, la presque-périodicité des primitives a toutes les chances d'être mise en défaut par le phénomène des petits diviseurs (que l'on retrouve par la densité du groupe $T\Z+T'\Z$), ce phénomène permet d'avoir $0$ comme point d'accumulation des termes qui apparaissent au dénominateur de l'énergie ce qui peut faire diverger la série de la relation de Parseval.

Namiswan · April 2021

Suite au post de math2 je me rends compte que j'ai inutilement compliqué les calculs. Par Banach Steinhaus on a $\left|\int_0^x g(t)h(t)dt \right|\leq C ||g||_\infty ||h||_\infty.$
Pour $g(t)=e^{\frac{2i\pi pt}{T}}$ et $h(t)=e^{\frac{2i\pi qt}{T'}},$ on a $g(t)h(t)=e^{i\alpha t},$ où $\alpha=2\pi\left(\frac{p}{T}+\frac{q}{T'}\right)$, et l'inégalité donne alors $\left|\frac{e^{i\alpha x}-1}{\alpha}\right|\leq C$. En optimisant en $x$ on déduit que $\frac{2}{|\alpha|}\leq C$, autrement dit $\left|\frac{p}{T}+\frac{q}{T'}\right|\geq \mbox{Const}$, ce qui est absurde par densité du sous-groupe.

gebrane · April 2021

Bonjour Namiswan
Est-ce que tu démontres que $x\mapsto \int_0^x g(t)h(t)dt,\ $ pour $\dfrac{T}{T'} \not\in \Q$ ne peut pas être bornée ?

Namiswan · April 2021

Je démontre plutôt que la fonction peut ne pas être bornée (:P)

Dans le sens qu'il existe $g$ et $h$ tel que ce n'est pas borné. Je ne les explicite pas cependant.

Si on veut un contre-exemple explicite je pense qu'il faut prendre deux fonctions dont les coefficients de Fourier décroissent lentement (pour ne pas compenser les petits diviseurs dont parlait math2)

Avec des hypothèses supplémentaires on peut obtenir des résultats positifs. Exemple:
Si $T=1$, $T'=\sqrt{2}$ et $g$, $h$ assez régulières, disons $C^1$, alors $F$ est nécessairement bornée.