Erreur de calculatrice

Eligh
Eligh
dans Analyse
Bonjour.
Je préparais un exercice pour mes terminales et j'ai remarqué quelque chose que j'aimerais soumettre à votre sagacité.

Il s'agit d'étudier la suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 t^n e^{-t}dt$.

Je demande entre autre : décroissante, minorée, convergente, encadrement et limite (elle tend vers 0). Par ailleurs, je voulais demander relation de récurrence ($I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}$ selon moi) et recherche de seuil à la calculatrice.
Mais la calculette trouve que $I_n$ tend vers $+\infty$ ! Selon moi la casio "se trompe lourdement" à partir de $I_{14}$ et la TI à partir de $I_{12}$.

Je pense expliquer ça aux élèves par des erreurs d'arrondis qui se multiplient ; c'est plutôt intéressant en fait. Mais je voulais confirmation avant (est-ce que j'ai fait une erreur, y a-t-il une autre explication...)
Si quelqu'un de courageux se sent d'y jeter un œil, merci par avance.

Et bien sûr : trolls s'abstenir (leur présence sur ce site est tellement pénible).

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    J'ai testé avec Python et effectivement j'ai le même problème à partir de la 18ème itération. Mais comme toi je pense que c'est des erreurs d'arrondis qui se multiplient.

    Si le calcul de $I_n$ est entaché d'une erreur $\delta$ alors la valeur suivante sera égale à $(n+1)(I_n+\delta)-e^{-1}=I_{n+1}+\delta * (n+1)$. Et la suivante sera égale à $I_{n+2}+\delta * (n+1)(n+2)$ etc.
  • ev
    ev
    Bonsoir.

    Tu peux résoudre l'équation sans second membre : $I_{n+1}=(n+1)I_n$ et tu auras l'explication.

    Certaines calculatrices/ordinateurs peuvent trouver $-\infty$ comme limite.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • raoul.S
    raoul.S
    D'ailleurs pour confirmer j'ai fait un print des rapports $I_{n+1}/I_n$ et ça donne ça :
    20.877656344538593
20.089936164938827
21.0044766774867
22.000213129684468
23.000009687619077
24.000000421200657
25.00000001755003
26.000000000702002
27.000000000026997
28.000000000000995
29.000000000000036
30.0
31.0
32.0
33.0
34.0
35.0
36.0
37.0
38.0
39.00000000000001
40.0

    c'est presque parfait...
  • Dom
    Dom
    Comment avoir un développement asymptomatique asymptotique de $I_n$ ?
    Je suis totalement incapable ce soir...

    Édit : merci Jean.
  • gebrane
    gebrane
    Dom pas grave, tu nous le fais demain
    Le 😄 Farceur


  • jandri
    jandri
    Pour faire un calcul précis avec une calculatrice ou bien calculer un développement asymptotique on peut inverser la récurrence.

    $I_n=\dfrac1{n+1}(e^{-1}+I_{n+1})$ donne $I_n=e^{-1}\left(\dfrac1{n+1}+\dfrac1{(n+1)(n+2)}+\dfrac1{(n+1)(n+2)(n+3)}+\dots\right)$.
  • Dom
    Dom
    Haha.
    J’ai juste : $I_{n}=\frac{1}{(n+1)e}+ o\Big(\frac{1}{n} \Big)$

    Édit : erreur de signe

    Merci jandri ;-)
  • Dom
    Dom
    En fait ça me rappelle un exercice assez bien fichu du bouquin d’analyse utilisé par le CNED pour la préparation du CAPES.
    On expliquait pourquoi les calculatrices se trompaient d’une manière assez simple et « explicite ».
  • verdurin
    verdurin
    J'ai testé avec libre office calc.
    La valeur numérique calculée avec la relation de récurrence tend vers $-\infty$ et elle déraille à partir de la dix-septième itération.

    On peut écrire $I_n=a_n-b_n\mathbf{e}^{-1}$ avec $a_n=n!$, $b_n=nb_{n-1}+1$ et $b_0=1$.

    On voit que ces nombres croissent très vite et dépasse rapidement la précision permise par le calcul de $\mathbf{e}^{-1}$
  • Math Coss
    Math Coss
    My two cents. La fonction « .n(p) » donne l'approximation numérique à $2^{-p}$ près (environ). Le calcul symbolique explique un peu ce qui se passe : $I_n$ est une combinaison entière de $1$ et $\mathrm{e}^{-1}$ dont les coefficients sont gigantesques. 
    sage: def I(n,p=30):
....:     if n==0:
....:         return 1-1/e.n(p)
....:     return n*I(n-1,p)-1/e.n(p)
....: 
sage: I(29)
-3.1457069e21
sage: I(29,100)
-12.561361594330718762220495272
sage: I(29,1000)
0.0126709648043100409516288055849745273883832181615927882693594413442278320922345306471584655276341092783754891047090520087286888490038706237255806964275691415932191427925263725030242944544311169414768752121975424251162147939676439925674438505120389119731014719167192960065757612609604041648176014920871
sage: def Ij(n):
....:     if n==0:
....:         return 1-1/e
....:     return n*Ij(n-1)-1/e
....: 
sage: [Ij(k) for k in range(30)]
[-e^(-1) + 1,
 -2*e^(-1) + 1,
 -5*e^(-1) + 2,
 -16*e^(-1) + 6,
 -65*e^(-1) + 24,
 -326*e^(-1) + 120,
 -1957*e^(-1) + 720,
 -13700*e^(-1) + 5040,
 -109601*e^(-1) + 40320,
 -986410*e^(-1) + 362880,
 -9864101*e^(-1) + 3628800,
 -108505112*e^(-1) + 39916800,
 -1302061345*e^(-1) + 479001600,
 -16926797486*e^(-1) + 6227020800,
 -236975164805*e^(-1) + 87178291200,
 -3554627472076*e^(-1) + 1307674368000,
 -56874039553217*e^(-1) + 20922789888000,
 -966858672404690*e^(-1) + 355687428096000,
 -17403456103284421*e^(-1) + 6402373705728000,
 -330665665962404000*e^(-1) + 121645100408832000,
 -6613313319248080001*e^(-1) + 2432902008176640000,
 -138879579704209680022*e^(-1) + 51090942171709440000,
 -3055350753492612960485*e^(-1) + 1124000727777607680000,
 -70273067330330098091156*e^(-1) + 25852016738884976640000,
 -1686553615927922354187745*e^(-1) + 620448401733239439360000,
 -42163840398198058854693626*e^(-1) + 15511210043330985984000000,
 -1096259850353149530222034277*e^(-1) + 403291461126605635584000000,
 -29599015959535037315994925480*e^(-1) + 10888869450418352160768000000,
 -828772446866981044847857913441*e^(-1) + 304888344611713860501504000000,
 -24034400959142450300587879489790*e^(-1) + 8841761993739701954543616000000]
  • Dom
    Dom
    Génial !
    Math Coss et verdurin enrichissent l’exercice proposé par Eligh :-) avec ces suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

    $(a_n)=(n!)$ et pour $(b_n)$ c’est ici : https://oeis.org/A000522
  • jandri
    jandri
    Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ de verdurin donnent, si on exprime $b_n$ avec une somme, $I_n=e^{-1}n!\left(e-\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}\right)$.

    C'est la même chose que la formule que j'ai donnée.
  • Christian Vassard
    Christian Vassard
    Bonjour,
    Un exercice très proche, donnant pour les mêmes raisons de gros problèmes de calcul, a été proposé il y a bien longtemps dans un numéro spécial de La Recherche (1995 de mémoire) consacré aux nombres.
    La suite qui apparaît est convergente vers 0 pour une seule valeur initiale $e-1$... irrationnelle bien sûr. Selon que $e-1$ est approchée par excès ou par défaut dans la calculatrice utilisée, la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.
    Avec un de mes collègues et amis, nous avions écrit un petit article à cette époque sur cet exercice, petit article qui a sans doute inspiré un sujet de bac posé au Liban en 2005.
    Voici l'énoncé tel qu'il figurait dans la Recherche
    "Pour preuve, l'histoire édifiante d'Alfred Logarithme qui, en bon père de famille, désire faire un placement à très long terme pour assurer l'avenir de sa descendance. Il se renseigne donc auprès du directeur de la Société Chaotique de Banque (SCB) qui lui propose son nouveau plan d'épargne en ces termes :
    « Votre apport initial est de e – 1 francs. La première année, vous êtes perdant,on multiplie votre capital par 1, et l'on y prélève 1 franc pour frais de gestion. La deuxième année, c'est beaucoup mieux, on multiplie votre capital par 2 et l'on
    prélève toujours 1 franc pour frais de gestion. La troisième année, on multiplie votre capital par 3 et l'on prélève 1 franc, et ainsi de suite : la n-ième année, on multiplie votre capital par n et l'on prélève 1 franc. Au bout de 25 ans, vous pouvez retirer votre argent. Intéressant, n'est-ce pas ? »
    Prudent Monsieur Logarithme décide de réserver sa réponse. Pouvons-nous l'aider à prendre sa décision ?"
    Bonne soirée,
    Christian
  • gilles benson
    gilles benson
    Bonjour, désolé d'arriver après la bataille mais c'est un cas bien connu dans lequel la relation de récurrence n'est pas stable numériquement: tu multiplies l'erreur précédente par n à chaque étape...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • gilles benson
    gilles benson
    La calculatrice fait ce qu'elle peut; de même, la série harmonique est convergente du point de vue de la calculatrice...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Dom
    Dom
    L’exercice dont je parlais.

    Analyse, Ariel Dufetel, Vuibert.
    CAPES Externe, Agrégation Interne.

    La calculatrice propose une convergence vers un nombre alors que mathématiquement la suite converge vers un autre nombre.119866
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Les machines déterministes ont du mal à faire des calculs d'itérations chaotiques, c'est une raison pour laquelle l'existence de la matière noire (prouvée par un calcul) ne sera validée qu'après sa prédiction par une observation avec des instruments analogiques embarqués sur un satellite artificiel ou sur Terre.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Eligh
    Eligh
    Merci beaucoup pour vos réponses très instructives. J'essaierai d'en faire matière à réflexion pour mes élèves (même si nous sommes "à distance" en ce moment).
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