Erreur de calculatrice
Bonjour.
Je préparais un exercice pour mes terminales et j'ai remarqué quelque chose que j'aimerais soumettre à votre sagacité.
Il s'agit d'étudier la suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 t^n e^{-t}dt$.
Je demande entre autre : décroissante, minorée, convergente, encadrement et limite (elle tend vers 0). Par ailleurs, je voulais demander relation de récurrence ($I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}$ selon moi) et recherche de seuil à la calculatrice.
Mais la calculette trouve que $I_n$ tend vers $+\infty$ ! Selon moi la casio "se trompe lourdement" à partir de $I_{14}$ et la TI à partir de $I_{12}$.
Je pense expliquer ça aux élèves par des erreurs d'arrondis qui se multiplient ; c'est plutôt intéressant en fait. Mais je voulais confirmation avant (est-ce que j'ai fait une erreur, y a-t-il une autre explication...)
Si quelqu'un de courageux se sent d'y jeter un œil, merci par avance.
Et bien sûr : trolls s'abstenir (leur présence sur ce site est tellement pénible).
Je préparais un exercice pour mes terminales et j'ai remarqué quelque chose que j'aimerais soumettre à votre sagacité.
Il s'agit d'étudier la suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 t^n e^{-t}dt$.
Je demande entre autre : décroissante, minorée, convergente, encadrement et limite (elle tend vers 0). Par ailleurs, je voulais demander relation de récurrence ($I_{n+1}=(n+1)I_n-\frac{1}{e}$ selon moi) et recherche de seuil à la calculatrice.
Mais la calculette trouve que $I_n$ tend vers $+\infty$ ! Selon moi la casio "se trompe lourdement" à partir de $I_{14}$ et la TI à partir de $I_{12}$.
Je pense expliquer ça aux élèves par des erreurs d'arrondis qui se multiplient ; c'est plutôt intéressant en fait. Mais je voulais confirmation avant (est-ce que j'ai fait une erreur, y a-t-il une autre explication...)
Si quelqu'un de courageux se sent d'y jeter un œil, merci par avance.
Et bien sûr : trolls s'abstenir (leur présence sur ce site est tellement pénible).
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Réponses
Si le calcul de $I_n$ est entaché d'une erreur $\delta$ alors la valeur suivante sera égale à $(n+1)(I_n+\delta)-e^{-1}=I_{n+1}+\delta * (n+1)$. Et la suivante sera égale à $I_{n+2}+\delta * (n+1)(n+2)$ etc.
Tu peux résoudre l'équation sans second membre : $I_{n+1}=(n+1)I_n$ et tu auras l'explication.
Certaines calculatrices/ordinateurs peuvent trouver $-\infty$ comme limite.
e.v.
c'est presque parfait...
Je suis totalement incapable ce soir...
Édit : merci Jean.
$I_n=\dfrac1{n+1}(e^{-1}+I_{n+1})$ donne $I_n=e^{-1}\left(\dfrac1{n+1}+\dfrac1{(n+1)(n+2)}+\dfrac1{(n+1)(n+2)(n+3)}+\dots\right)$.
J’ai juste : $I_{n}=\frac{1}{(n+1)e}+ o\Big(\frac{1}{n} \Big)$
Édit : erreur de signe
Merci jandri ;-)
On expliquait pourquoi les calculatrices se trompaient d’une manière assez simple et « explicite ».
La valeur numérique calculée avec la relation de récurrence tend vers $-\infty$ et elle déraille à partir de la dix-septième itération.
On peut écrire $I_n=a_n-b_n\mathbf{e}^{-1}$ avec $a_n=n!$, $b_n=nb_{n-1}+1$ et $b_0=1$.
On voit que ces nombres croissent très vite et dépasse rapidement la précision permise par le calcul de $\mathbf{e}^{-1}$
Math Coss et verdurin enrichissent l’exercice proposé par Eligh :-) avec ces suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
$(a_n)=(n!)$ et pour $(b_n)$ c’est ici : https://oeis.org/A000522
C'est la même chose que la formule que j'ai donnée.
Un exercice très proche, donnant pour les mêmes raisons de gros problèmes de calcul, a été proposé il y a bien longtemps dans un numéro spécial de La Recherche (1995 de mémoire) consacré aux nombres.
La suite qui apparaît est convergente vers 0 pour une seule valeur initiale $e-1$... irrationnelle bien sûr. Selon que $e-1$ est approchée par excès ou par défaut dans la calculatrice utilisée, la suite diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$.
Avec un de mes collègues et amis, nous avions écrit un petit article à cette époque sur cet exercice, petit article qui a sans doute inspiré un sujet de bac posé au Liban en 2005.
Voici l'énoncé tel qu'il figurait dans la Recherche
"Pour preuve, l'histoire édifiante d'Alfred Logarithme qui, en bon père de famille, désire faire un placement à très long terme pour assurer l'avenir de sa descendance. Il se renseigne donc auprès du directeur de la Société Chaotique de Banque (SCB) qui lui propose son nouveau plan d'épargne en ces termes :
« Votre apport initial est de e – 1 francs. La première année, vous êtes perdant,on multiplie votre capital par 1, et l'on y prélève 1 franc pour frais de gestion. La deuxième année, c'est beaucoup mieux, on multiplie votre capital par 2 et l'on
prélève toujours 1 franc pour frais de gestion. La troisième année, on multiplie votre capital par 3 et l'on prélève 1 franc, et ainsi de suite : la n-ième année, on multiplie votre capital par n et l'on prélève 1 franc. Au bout de 25 ans, vous pouvez retirer votre argent. Intéressant, n'est-ce pas ? »
Prudent Monsieur Logarithme décide de réserver sa réponse. Pouvons-nous l'aider à prendre sa décision ?"
Bonne soirée,
Christian
Analyse, Ariel Dufetel, Vuibert.
CAPES Externe, Agrégation Interne.
La calculatrice propose une convergence vers un nombre alors que mathématiquement la suite converge vers un autre nombre.