Espaces de Hardy
Bonsoir
Je découvre les espaces de Hardy, les zéros des fonctions holomorphes etc.
J'ai des exercices de ce type.
Soit f appartenant à H^(infini) du disque unité
II f II <=1 C'est la norme infinie
f(0)=1/4
Montrer que f a au plus un seul zéro dans le disque de centre O et de rayon 1/2.
Comment dois-je m'y prendre ?
Où trouver des exercices qui expliquent des méthodes ?
Le Rudin ne contient que du cours, pas d'exercices corrigés.
Merci beaucoup.
Je découvre les espaces de Hardy, les zéros des fonctions holomorphes etc.
J'ai des exercices de ce type.
Soit f appartenant à H^(infini) du disque unité
II f II <=1 C'est la norme infinie
f(0)=1/4
Montrer que f a au plus un seul zéro dans le disque de centre O et de rayon 1/2.
Comment dois-je m'y prendre ?
Où trouver des exercices qui expliquent des méthodes ?
Le Rudin ne contient que du cours, pas d'exercices corrigés.
Merci beaucoup.
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Réponses
1) Garnett: Bounded Analytic Functions chez Academic Press ou Springer.
2) Koosis: Hp Spaces chez Cambridge.
3) Duren: Hp Spaces chez Academic Press (réédité à pas cher chez Dover).
En français, il y a le livre de Nikolskii chez Dunod et un petit paragraphe dans le livre des Queffelec chez Calvage et Mounet.
si $f$ est analytique dans le disque $D(0,a)$ et continue sur $\overline{D(0,a)}$ , $|f(z) | > m$ si $|z| = a$ et $|f(0)| < m$ , alors $f$ s'annule au moins une fois dans $D(0,a)$. Mais c'est au moins au lieu d'au plus...
C'est la poisse cette analyse complexe
Le Shakarchi « Problems and Solutions for Complex Analysis » contient une grande quantité d’exercices corrigés !
Pour ton exercice, il me semble que l'on a $|f(z)| > 1/4 $ si $|z| = 1/2$ pour au moins un $ z$ en vertu du principe du maximum. Edit: l'hypothèse n'est pas vérifiée car le module de |f(z)| doit être supérieur à 1/4 pour tout z sur le cercle...Tu ne te retrouves pas dans les conditions de l'énoncé que j'ai fourni (trouvé dans Krzyz Problems in Complex Variable chez Elsevier (1971),énoncé que tu prouves en utilisant le théorème de Rouché.) Tauvel utilise ue méthode différente. De plus, $f(z) = z/100 + 1/4$ est un contre-exemple...
Je planche sur ce type d'exercices
Cela rassure un peu de se dire que ce n'est pas évident pour les autres non plus , on se sent moins seule!:)
1) Aramanovich, Lunts et Volkovitskii: Problems in Complex Analysis (Dover) donnent: problème 562:
si $f(z) = \sum_{n\ge 0} c_nz^n$, le module d'un zéro de $f$ est au minimum $\frac{\rho|c_0|}{|c_0| + M}$ si $|f(z)| \leq M$ quand $|z| \leq \rho$.
Preuve: on regarde $|f(z)-c_0|$ quand $f(z)-c_0 = g(z)$ vérifie $|f(z)-c_0| \geq |c_0|$ sinon $f$ ne s'annule pas. Ensuite on majore $g(z)/z$ en module: $|g(z)/z| \leq \sum_{n\ge 0} | c_n ||z|^n \leq $$|g(z)/z| \leq M\sum_{n\ge 0} |\rho|^{n-1}/R^n$ en appliquant les inégalités de Cauchy sur le cercle de rayon $R$ avec $z$ zéro de $f$ de module $\rho$.
On obtient une somme géométrique soit $|c_0/\rho| \leq \frac{M}{R-\rho}$ et il reste à isoler $\rho$.
2) Dans Phillips: Some Topics in Complex Analysis, on trouve:
si $f$ est analytique de module inférieur à $M$ si $|z| \leq R$ et $f(0) = a \neq 0$, alors le nombre de zéros de $f$ si $|z| \leq R/3$ est inférieur ou égal à $ \frac{M}{|a|\ln (2)} $.
Preuve: si $z_1, \dots , z_N$ sont les $N$ zéros de $f$, on pose: $g(z) = \dfrac{f(z)}{\prod_{n=1}^{N} \left( 1 - z/z_n \right)}$ qui est analytique et on majore en module.
3) Il y a aussi l'inégalité de Jensen.