Fonction qui s'annule uniquement en 0

Nora-math
Nora-math
dans Analyse
Bonjour j'ai une fonction $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ croissante telle que $f(0)=0$ et qui vérifie :
"s'il existe $s>0$ tel que $f(s)=0$ alors $f$ est identiquement nulle."
Comment montrer que $f$ s'annule uniquement en $0$ ?
Merci.

Réponses

  • AlainLyon
    AlainLyon
    Bonjour, si $f$ s'annule en un autre réel que $0$ qu'est $f$?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • marsup
    marsup
    La propriété
    f s'annule uniquement en 0
    ne s'ensuit pas de la propriété
    "s'il existe s>0 tel que f(s)=0 alors f est identiquement nulle "
  • AlainLyon
    AlainLyon
    ...Si $f$ vérifie les hypothèses et s'annule hors de $0$ alors elle est nulle identiquement . Cette hypothèse étant exclue $f$ ne peux s'annuler qu'en $0$. Le professeur attend un raisonnement par l'absurde résultat d'une lecture intégrale de l''énoncé.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Chelito
    Chelito
    Une fonction continue f nulle sur un segment [0,b] puis associant à tout x de ]b, infini[ l’image (x-b) convient.

    Ne manque-t-il pas une condition sur f ?

    [Ne pas confondre couple et intervalle ouvert ! AD]
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Une telle fonction ne convient pas car d'après les hypothèses elle serait nulle. C'est bien l'énoncé qui convient. Si Nora a un devoir à rendre, qu'elle écrive pourquoi l'énoncé est absurde, si elle le pense.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Chelito
    Chelito
    Je parie qu’il manque, dans la recopie de l’énoncé, un lien entre image de la somme et somme des images ou entre la fonction et sa dérivée.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Il ne manque rien à l'énoncé. Ce site serait-il interdit aux collégiennes?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    AlainLyon a écrit:
    Une telle fonction ne convient pas car (...) elle serait nulle.

    Prouve-le !

    Chelito a raison.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Oui, relis mes post!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • gerard0
    gerard0
    Tu es bien sûr de toi, AL, alors que Nora-math n'est pas revenu ici. Et tu racontes des âneries, par exemple ici. Et ce n'est pas la première fois.

    Nora, tel qu'est rédigé ton message, la réponse est "on ne peut pas". La fonction nulle sur $[0,+\infty[$ vérifie toutes les hypothèses et ne s'annule pas qu'en 0. As-tu d'autres renseignements sur $f$ ? Quelle question précise (avec son contexte) t'a amené à écrire ce message

    Cordialement.
  • Chelito
    Chelito
    Le jour où je donnerai cet exercice au collège....
    Alain, tu es un doux rêveur.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Tu veux dire que des collégiens ne sauraient pas résoudre un exercice de logique facile en utilisant un raisonnement par l'absurde?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • gebrane
    gebrane
    AlainLyon Tu te ridiculises gratuitement , relis bien l’énoncé de l'exercice. la fonction nulle vérifie les hypothèses pourtant dire que la fonction nulle s'annule uniquement en 0 est une sottise !
    Le 😄 Farceur


  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Les "fonctions" sont découvertes et définies en seconde. Donc, évoquer le collège est déplacé.

    AlainLyon, confonds-tu un raisonnement par l'absurde et un raisonnement absurde ? C'est toi qui fait des généralités, et Chelito qui donne un contre-exemple concret. C'est donc à toi de prouver que la fonction croissante et plusieurs fois nulle de Chelito est nulle partout. Mais elle ne l'est pas, évidemment.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • Poirot
    Poirot
    Le "contre-exemple" de Chelito ne vérifie pas "s'il existe $s > 0$ tel que $f(s)=0$ alors $f=0$" !

    L'énoncé ci-dessus implique que $f$ est soit identiquement nulle, soit ne s'annule qu'en $0$.
  • gebrane
    gebrane
    Voila @Poirot (tu)
    Le 😄 Farceur


  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Oui, c'est vrai. Mon argumentation est hors-sujet.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • Chelito
    Chelito
    Si un réel strictement positif annule f alors f est identiquement nulle.

    La réciproque est vraie. Et comment formuler la contraposée?

    Pour moi " f est identiqument nulle" reste un cas possible.

    Ceci dit merci Poirot.
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