Opérateur de rang 1 ?

Bonjour
Comment peut-on savoir qu'un tel opérateur est de rang 1 ?
$$A= \frac{\langle \cdot \mid S^*(L_u+\lambda Id)^{-1}1\rangle}{\langle (L_u+\lambda Id)^{-1} 1\mid 1\rangle} S^*(L_u+\lambda Id)^{-1} 1.$$ où $L_u$ est un opérateur dont le spectre est donné par $\{\lambda_0 < \lambda_1< \cdots < \lambda_n < \ldots\}$ qui sont des valeurs propres simples. On prend $\lambda \geq -\lambda_0 +1$.
$
S$ correspond à l'opérateur shift : $\quad S : f \in L^2\ \mapsto e^{ix} f\in L^2,\ $ et $S^*$ son adjoint.

Merci d'avance !