Bonjour
J’ai bloqué dans le calcul de $$ \int_0^\infty \frac {\arctan(t^2) }{ t^2} dt.
$$ Par une ipp, on trouve un lien avec $ \quad\displaystyle \int_0^\infty \frac {1 }{1+ t^4} dt$.
Mais après je reste bloqué.
Quelqu’un aurait-il la gentillesse de m’aider un peu ? Svp...
Réponses
Dans ce cas très précis, on peut aussi s'en sortir avec une astuce : Voir exercice 43.
la seconde intégrale est un cas particulier de l'intégrale paramétrée (pour $n = 4$)
$$
\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^n} = \frac{\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}.
$$ Quant à la première intégrale par une intégration par parties en posant $u = \arctan(t^2)$ tu obtiens 2 fois la seconde intégrale.
cordialement.
\begin{align}J&=\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^4}dx\\
&\overset{y=\tfrac{1}{x}}=\int_0^{\infty}\frac{y^2}{1+y^4}dy\\
2J&=\int_0^{\infty} \frac{1+y^2}{1+y^4}dy\\
&=\int_0^{\infty} \frac{1+\frac{1}{y^2}}{2+\left(y-\frac{1}{y}\right)^2}dy\\
&\overset{u=y-\tfrac{1}{y}}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2+u^2}du\\
&=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\\
&=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\\
J&=\boxed{\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}}
\end{align}
On a aussi le changement de variable $y=x+\dfrac{1}{x}$ qui peut fonctionner et plus généralement $\displaystyle y=x^k+\frac{1}{x^k}$ ou $\displaystyle y=x^k-\frac{1}{x^k}$.
Oui l’IPP vient vite.
Mais je bloque ensuite.
MrJ: pour la décomposition, après de longs calculs j’ai abandonné la décomposition , peut-être par lâcheté, devant le système que je devais résoudre.
Quant à ton lien, c’est exactement le type d’astuce que j’espérais. Pourtant, je ne vois même pas comment calculer la première intégrale avec un t au numérateur.
Jean Lismonde: je vais réessayer de démonter cette jolie formule. En fait la technique classique ipp pour faire apparaître une relation de récurrence me paraît inopérante. Je dois m’y pencher avec plus d’entrain.
Merci encore. J’ai quand même l’impression que j’ai plutôt intérêt à éviter de prendre un sujet sur les intégrales à l’oral de l’interne dans 15 jours... et c’est un peu grâce à vous.
Dire que j’y ai passé au moins trois heures...
Merci à tous.
Ramanujan’s master theorem.
\begin{eqnarray*}\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}&=&\int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{(1+x)^{a+b}}dx=\int_0^{1}y^{a-1}(1-y)^{b-1}dy \\
\Gamma(p)\Gamma(1-p)&=& \frac{\pi}{\sin \pi p}
\end{eqnarray*} qui trivialise $\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^r}$ par le changement de variable $t^r=x$?
PS:
La méthode la plus élémentaire ici est de décomposer la fraction en éléments simples ce qui revient à résoudre l'équation $Z^4=-1$ dans $\mathbb{C}$ puis de regrouper les éléments conjugués etc.