Équa diff fonction caractéristique normale

Bonjour

Je suis parvenu à montrer que la fonction caractéristique d'une variable centrée $X$ vérifiait l'équation suivante :
$$ -\phi '' (t) \phi (t) + \phi ' (t) ^2 = \sigma^2 \phi (t) ^2.

$$ Je dois montrer que $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(0, \sigma ^2)$.

Il s'agit j'imagine de résoudre l'équation différentielle présentée au-dessus, mais ayant une expérience extrêmement limitée en la matière, pourriez-vous me donner une piste pour commencer ? Ou au moins me dire de quel type d'équation s'agit-il ? Second ordre, avec coefficients non constants ? J'ai l'impression que c'est un cas relativement peu courant (au niveau L3 en tout cas).

J'ai l'impression que cette équation n'est pas si éloignée de l'équation donnant la dérivée d'un produit de fonctions (par exemple la dérivée du produit de $t \mapsto \phi ' (t)$ et $t \mapsto \phi (t)$), peut-être y a-t-il quelque chose à creuser de ce côté-là ?