Spectre d'un opérateur

Pablo_de_retour
Pablo_de_retour
dans Analyse
Bonsoir

Soit $ T $ un opérateur d'une algèbre de Banach unitale $ \mathcal{B} $.
Soit $ \sigma (T) $ son spectre. On sait que,
$$ \sup \{ \ | \lambda | \mid \lambda \in \sigma (T) \ \} = \lim_{ n \to \infty } || T^n ||^{ \tfrac{1}{n} } .
$$ Qu'en est-il de, $ \inf \{ \ | \lambda | \mid \lambda \in \sigma (T) \ \} $ ? Comment le calculer ?
Merci d'avance.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Pour la dimension finie, si $T$ est bijective, essaye d’utiliser $T^{-1}$ pour trouver une formule analogue à celle que tu as donnée.

    Pour le cas général, j’ai un doute, donc je laisse un autre intervenant répondre.
  • Namiswan
    Namiswan
    Même en dimension infinie, il reste vrai que si $T$ est bijectif alors $\sigma(T^{-1})=\sigma(T)^{-1}$.
  • MrJ
    MrJ
    @Namiswan : Tout à fait. Là où j'ai un doute, c'est si $T$ est seulement injectif.
  • Namiswan
    Namiswan
    Si $T$ n'est pas bijectif, l'inf en question est de toute façon 0 ;-)
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Merci pour vos réponses à vous tous les deux. :-)
    Namiswan a écrit:
    Si $T$ n'est pas bijectif, l'inf en question est de toute façon 0 ;-)

    Pour l'opérateur de Schrödinger, il n'est pas bijective, mais, la valeur de l'inf de son spectre est strictement supérieure à $ 0 $. Comment expliquez vous ça ?
    Merci d'avance.
  • MrJ
    MrJ
    @Namiswan : C'est élémentaire ou il faut travailler un peu pour le démontrer (juste de tête, je n'arrive pas à voir un argument direct)?

    Édit : Désolé j'écrivais à Namiswan et tu as du poster en même temps que moi Pablo.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    @MrJ,
    Oui, mais, @Namiswan précise que l'inf du spectre d'un opérateur non bijective ( comme l'opérateur de Schrödinger ) est $ 0 $. Ce qui est absurde. Non ?
    Merci d'avance.
  • Namiswan
    Namiswan
    Ma définition à moi de $\sigma(T)$ c'est :$\lambda \in \sigma(T)$ si $T-\lambda Id$ n'est pas bijectif.

    En particulier pour $\lambda=0$, si $T$ n'est pas bijectif alors $0\in \sigma(T)$, et donc l'inf des modules vaut $0$.
  • MrJ
    MrJ
    Merci! Je suis complètement ***** sur le coup. (:P)
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