Encadrement par intégrales

kadmathnet
kadmathnet
dans Analyse
Bonjour
Démontrer que pour tout n entier naturel, on a :
intégrale( ln(x),1,n )dx <= ln( n! )<= intégrale( ln(x),1,n+1 )dx.

Tout ce que j'ai pu faire c'est: ln (n!) = ln(1)+ln(2)+ln(3)+...+ln(n)
En terminale une primitive de ln(x) ne figure pas dans les livres.

Merci d'avance.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    $\displaystyle \int_1^n \ln x dx\leq \ln(n!)\leq \int_1^{n+1} \ln x dx$?

    La fonction logarithme est strictement croissante sur l'intervalle $[1;\infty[$

    PS:
    Je te conseille de faire un petit dessin sur lequel figure le graphe de la fonction logarithme (sur l'intervalle $[1;n]$ pour commencer.

    PS2:
    Les trois nombres dans tes inégalités peuvent être vus comme des aires.
  • gebrane
    gebrane
    Par récurrence c'est faisable avec les moyens du Bac
    Le 😄 Farceur


  • kadmathnet
    kadmathnet
    PS:
    Je te conseille de faire un petit dessin sur lequel figure le graphe de la fonction logarithme (sur l'intervalle [1;n] pour commencer.
    PS2:
    Les trois nombres dans tes inégalités peuvent être vus comme des aires.

    Mon imprimante est panne, donc je ne peux pas coller le dessin que j'ai fait.

    Je partage l'intervalle [a;b], a=1, (la courbe coupe l'axe des abscisses en 1) en n parties et chaque partie = dx
    Aire A1 = Somme(i,1,n-1,f(xi)*dx
    Aire A2 = Somme(i,1,n,f(xi)*dx

    A1 < Aire exacte < A2

    Mais comment peut-on voir ln(n!) = ln(1)+ln(2)+ln(3)+...+ln(n) comme une aire ? il manque un dx ?
  • Quentino37
    Quentino37
    Fdp à raison, avec un dessin c'est très intuitif
    Je suis donc je pense 
  • kadmathnet
    kadmathnet
    Quentino37
    Oui, j'ai fait un dessin, je ne comprends pas ta réponse.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Kadmathnet:

    Sur ton dessin, qui doit, disons, représenter la fonction logarithme sur l'intervalle $[1,5]$, tu indiques traces des segments verticaux qui joignent les points de coordonnées $(n,0),(n,\ln(n))$ avec $1\leq n\leq 5$. Après, pour chaque point de coordonnées, $(n,\ln(n)),1\leq n\leq n$, tu traces la droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par ce point.
    Normalement tu dois voir se dessiner des rectangles qui sont sous la courbe de la représentation graphique de logarithme sur $[1;5]$. Il ne reste plus qu'à évaluer l'aire de chacun de ces rectangles.

    PS:
    J'ai pris $5$ mais c'est arbitraire. $4$ convient aussi (ou tout autre entier pas trop petit pour voir ce qui se passe)
  • Quentino37
    Quentino37
    voila un dessin :)119898
    Je suis donc je pense 
  • Quentino37
    Quentino37
    Pense à l'intégrale de [large]R[/large]iemann, mais tu prends un intervalle de 1, vu que ln(x) est croissante, tu peux démontrer que intégrale( ln(x),1,n )dx <= ln( n! )<= intégrale( ln(x),1,n+1 )dx.

    [Bernhard Riemann (1826-1866) prend toujours une majuscule. AD]
    Je suis donc je pense 
  • kadmathnet
    kadmathnet
    Merci pour la courbe.
    J'ai pris 5 points (1<=n<=5) distants de 1
    Aire A1 des rectangles sous la courbe:
    A1=ln(1)+ln(2)+ln(3)+ln(4)=ln(24)

    Aire A2 des rectangles dépassants la courbe:
    A2=ln(2)+ln(3)+ln(4)+ln(5) =ln(120)

    Donc A1<A2

    et pour ln(n!)=ln(1)+ln(2)+ln(3)+ln(4)+ln(5)=ln(120)

    Cela donne A1< ln(5!) <= A2 mais ln(5!) <= A2 ce n'est pas rigoureux.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Kadmathnet:

    C'est rigoureux quand on a compris ce qu'on faisait.

    Cela repose sur cette assertion:

    Soit une fonction $f$ définie continue croissante et positive sur l'intervalle $[a;b]$, avec $b>a$


    On a: $\displaystyle (b-a)f(a)\leq \int_a^b f(x)dx \leq (b-a)f(b)$

    La démonstration est aisée.

    PS:

    Dans l'exercice qui nous intéresse dans ce fil on applique plusieurs fois ce résultat sur des intervalles de type $[m,m+1]$.
  • kadmathnet
    kadmathnet
    Bonjour Fin de Partie,

    1°) La formule ci dessus ne figure pas dans le livre de math spé terminale.

    2°) Ce que j'ai fait, sur (1<=n<=5) c'est correct, A1<A2 ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    2) oui, cela m'a l'air correct
    Kadmathnet a écrit:
    La formule ci dessus ne figure pas dans le livre de math spé terminale.

    En même temps cet exercice a plus sa place dans un cours de mathématiques après le bac qu'au lycée selon moi.
    Il n'y a aucun argument profond (le dessin parle pour lui-même) mais cela demande toutefois d'être un peu familier avec les toutes premières bases du calcul intégral à mon humble avis.

    Tu peux essayer de démontrer le résultat que j'ai rappelé indiqué ci-dessus. Il utilise une propriété de base du calcul intégral qu'on voit en terminale.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour kadmathnet

    la valeur moyenne d'une fonction croissante sur un intervalle [a ; b] calculée par calcul intégral

    figure bien au programme de spé math de la classe de terminale et donc tu es censé établir l'inégalité très simple proposée par FdP


    D'autre part dans le programme officiel du 25 juillet 2019 figure juste après ce chapitre de la valeur moyenne d'une fonction,

    l'intégration par parties dont une application simple et importante concerne la fonction logarithme népérien

    ce sont des capacités attendues des futurs brillants bacheliers dont tu feras partie, tout le monde ici en est persuadé

    cordialement
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Jean Lismonde: merci. J'avais complètement oublié "la valeur moyenne d'une fonction" :-D
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