Avec $\mathbb{K=R}$ ou $\mathbb{C}$
si $f$ est une application continue de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$ et qu'il existe $a,b$ dans $\mathbb{K}$ tels que $|a|\neq1$ et pour tout $x\in\mathbb{K}$ : $f\left(x\right)=f\left(ax+b\right)$, alors $f$ est constante.
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Réponses
Par l'absurde, supposons qu'il existe $a,b \in \K$ tel que $|a| \ne 1$ tel que $\forall x \in \K \ f(x)=f(ax+b)$ et $f$ soit non constante.
Alors il existe $y,z \in \K$ tel que $f(y) \ne f(z)$
Mais $f(y)=f(ay+b)$ et $f(z)=f(az+b)$ donc $f(ay+b) \ne f(az+b)$
Je ne vois pas comment utiliser la continuité, je n'ai pas réussi.
Autre idée : on a $f( \dfrac{x}{a})=f(x+ b/a)$ et $f(\dfrac{x}{a} -x)=f(b/a)$
Donc $\boxed{\forall x \in \K \ f( x (\dfrac{1-a}{a}))=f(\dfrac{b}{a}) }$
Soit $x$ fixé à présent dans $\K$. $f$ est continue sur $\K$ donc :
$\lim\limits_{y \rightarrow (\frac{a}{1-a}) x} f( y (\dfrac{1-a}{a})) = f(x) =f(\dfrac{b}{a})$
Ceci étant vrai pour tout $x \in \K$, $f$ est constante sur $\K$.
Pas d'idées pour cet exercice, j'ai épuisé mes possibilités, j'ai cherché 30 minutes, je n'ai pas trouvé.
A quelle condition suffisante simple sur $a$ cette suite converge-t-elle?
Quelle est sa limite ? (en particulier dépend-elle de $x_{0}$ ?)
Que peut-on dire des $f\left(x_{n}\right)$?
Supposons que $(u_n)$ converge vers $l \in \K$. Alors $l=al+b$ et donc comme $a \ne 1$ car $|a| \ne 1$ alors :
$\boxed{l=\dfrac{b}{1-a}}$. La limite ne dépend pas de $x_0$.
On a donc $\begin{cases}
x_{n+1}=ax_n+b\\
l=al+b
\end{cases}$
On en tire que $x_{n+1}-l=a(x_n-l)$
La suite $(x_n-l)$ est géométrique de raison $a$. Comme $a \ne 1$, elle converge si et seulement si $|a| <1$ ou si $x_0 =l$
On a don pour $n \in \N$ : $x_n -l =(x_0-l) a^n$
Donc $\boxed{x_n = \dfrac{b}{1-a}+ \left(x_0 - \dfrac{b}{1-a} \right) a^n}$
$f(x_n)=ax_n + b = \dfrac{ab}{1-a}+ \left(x_0 - \dfrac{b}{1-a} \right) a^{n+1} +b$
Cette suite n'est pas choisie au hasard : $x_{n+1}=ax_{n}+b$, donc que dire de $f\left(x_{n+1}\right)$ par rapport à $f\left(x_{n}\right)$ ?
Qu'en déduit-on entre $f\left(x_{0}\right)$ et $f\left(l\right)$ ?
...
Reste ensuite à traiter le cas où $|a|>1$ : on peut facilement se ramener au cas précédent ...
Donc $\forall n \in \N \ f(x_n)=f(x0)$
Comme $f$ est continue sur $\K$, on a $f(l)=f(x_0)$ par passage à la limite.
$x_0$ étant fixé on en déduit que $\boxed{\forall x_0 \in \R \ \ f(x)=f(l)=constante}$
Si $|a| >1$, on pose $a' = 1/a$ de sorte que $|a| <1$
Et on a donc $f(x)=f(\dfrac{1}{a'}x+b)$ et on refait l'étude comme précédemment.
Si |a|>1 :
On remarque que pour tout x, on a f(x)=f(x/a-b/a).
Comme |1/a|<1, on peut appliquer le raisonnement précédent
Pas si simple cet exercice quand on n'a pas l'idée d'utiliser les suites.
Mais si on te demande au concours de démontrer cette situation particulière.
$P(X)= \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ et $P(2X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k 2^k X^k$
Donc $P(2X)-P(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (2^k-1) X^k =0$
Or $2^0-1=0$ donc $a_0$ peut prendre n'importe quelle valeur sur $\K$.
On en déduit aussi $\forall k \in [|1,n|]$ on a $a_k =0$ car $2^k -1 \ne 0$
Donc $P=constante$